第二章一元函数的连续性

　　第二章 一元函数的连续性

　　教学目标：1.深刻理解函数连续性的概念

　　2.熟练掌握讨论函数连续性的基本方法

　　3.深刻理解和掌握闭区间上连续函数的性质

　　4.熟练应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧

　　教学重点与难点：1.讨论函数连续性的基本方法

　　2.应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧

　　2.1 连续函数的基本性质及其有关证明题

　　要点 要证f(x)在I上连续, 只要证?x0?I,limf(x)?f?x0?. x?x0

　　常用方法:

　　(1) 利用定义: ???0,???0,当x?x0??时, f?x??f?x0??;

　　(2) 利用左右极限: f(x0?0)?f?x0??f?x0?0?;

　　(3) 利用序列的语言: ??xn??x0,有f(xn)?f?x0?;

　　(4) 利用邻域的语言: ???0,???0,使得f??x0??,x0??????f?x0???,f?x0????;

　　(5) 利用连续函数的四则运算性质.

　　间断点定义.设f?x?在x0的某去心邻域内有定义.

　　(1).若limf?x?和limf?x?都存在,但不相等,则称x0是f?x?的第一类间断点. ??x?x0

　　x?x0x?x0x?x0(2).若limf?x?和limf?x?至少有一个不存在,则称x0是f?x?的第二类间断点. ??

　　(3).若limf?x?和limf?x?都存在,且相等,即limf?x?存在,但f?x?在x0无意义,或??x?x0x?x0x?x0

　　f?x?在x0有意义,但limf?x??f?x0?,则称x0是f?x?的可去间断点. x?x0

　　x2n?3x2?1例1.讨论函数f?x??lim?e?x?1?2n的连续性,并指出不连续点的类 5n??x?4x?3x

　　型.

　　1

　　2n?22nx 解:(1).f?x??lim?e?x?1? n??1?2n?5?2nxx1??3

　　?ex?x?1,x?1,?2?ex?x?13x?1,x?1,x???4x5?3??

　　??? e?,x?1,?2??3?e?1?2?,x??1.??2

　　3x2?1 ?e?x?1?5

　　4x?3

　　xe?x?1ex?x

　　?1 0 1 图 2.1.4

　　(2).因为

　　x?1xlimfx?lime?x?1??e, ?????x?1

　　3x2?12elimfx?lime?x?1??, ????x?1?x?1??4x5?37

　　3x2?1x?1lim?f?x??lim??e?x?1??2e?2?, ?5x??1x??1?4x?3

　　lim?f?x??lim??ex?x?1??e?1?2, xx??1x??1

　　3x2?1??. f?x??e?x?1?5?4x?3xxx?????1,?? 故f?x?在???,?1????1,连续,在x1??1,x2???????????

　　,x3?1间断,且x1??1,x3?1是f?x?的第一类间断点,x2?点.

　　f?x?的第二类间断?的连续性,并指出不连续点的类型. x?

　　11?解:因为x0?时,sin?0,故f(x)在x?时连续. nnx0

　　1?又因为x0?时,sin?sinn??0(n??1,?2,......),且 nx0

　　lim?f(x)?1,lim?f(x)??1（n为奇数）;

　　x?1

　　n0x?1n0例2.讨论函数f?x??sgn?sin????

　　lim?f(x)??1，lim?f(x)?1（n为偶数）, x?1

　　n0x?1n0

　　1是第一类间断点(n??1,?2,......). n

　　11因此f(x)在x?时连续,当x0?时间断,且是第一类间断点(n??1,?2,......). nn故x0?

　　连续函数的应用

　　例1 设f(x)是?a,b?上的单调递增函数,其值域为?f?a?,f?b??.证明f(x)在?a,b?上连续. 证明 反证法. 假若结论不成立,即存在x0??a,b?使得f(x)在x0不连续. 由于f(x)是单调递增的,x0是第一类间断点（P73，Ex 6）.因此f?x0??f?x0?0?与f(x0?0)?f?x0?中至少有一个大于0（否则若f?x0??f?x0?0?,f(x0?0)?f?x0?,则f(x0?0)?f?x0??f?x0?0?,而f(x)是单调递增的, f(x0?0)?f?x0?0?,f(x0?0)?f?x0??f?x0?0?矛盾!）不妨设f?x0??f?x0?0??0,即f?x0??f?x0?0?.从而f?x0?与f?x0?0?之间的任何数都不在?f?a?,f?b??之内.再由f(x)是单调递增的,矛盾!故f(x)在?a,b?上连续.

　　例2 证明Riemann函数

　　pp?1?,当x?,为既约分数,q?0,在无理点上连续,在有理点上间断. R(x)??qqq?0,当x为无理数?

　　p证明 （1）先证R(x)在有理点上间断.设x0为有理点,x0?（为既约分数, q?0）.则q

　　1R(x0)??0.由无理点集在实数集中的稠密性,存在无理点列?xn??x0?当n??时?,但q

　　R?xn??R?x0??0?

　　理点处不连续. 11??0（对任意正整数n）,即R(xn)不收敛到R(x0).所以R(x)在有qq

　　（2）再证R(x)在?0,1?内无理点上连续.设为x0??0,1?无理点,则R(x0)?0.???0,由R(x)的定义可知, R(x)??的点x在?0,1?上最多只有有限多个(事实上,要R(x)??的x必须为有理

　　1ppp1点.设x?,则R()???,0?p?q?.可见满足此不等式的有理数最多只有有限?qqqq

　　个).分别记为x1,x2,?,xn.令??minxn?x0,xn?1,x0,?,x1?x0?0,则在(x0??,x0??)内不含有R(x)??的点,即有R?x??R?x0?R?x???.所以R(x)在?0,1?内无理点上连续.

　　p,q?0,p,q为互质q

　　p?q1整数.则1?x?,而p?q与q互质整数,所以1?x也为有理数,所以R(x)??R?x?1?.qq

　　故R(x)以1为周期.

　　（4）R(x)在一切无理点上连续.

　　p注 R(0)?1,因0?为既约分数且q?0,只能有p?0,q?1. q（3）R(x)以1为周期.事实上, x为无理数, R(x)?0?R?x?1?;若x?

　　例3 若f(x)在?0,1?内有定义,且exf(x)与e?f?x?在?0,1?内都是单调递增的,试证f(x)在 ?0,1?内连续.

　　证明 (1)任取x0??0,1?,因e?f?x?在?0,1?内单调递增知,当x?x0时,有

　　e?f?x??e?f?x0?,ef?x0??ef?x?,f?x0??f?x? (1),

　　即f(x)单调递减.故对任意x0??0,1?,f?x0?0?与f(x0?0)均存在.

　　(2)由exf(x)单调递增知,当x?x0时,有exf(x)?ex0f(x0).令x?x0?时,有ex0f(x0?0)?ex0f(x0),即f(x0?0)?f?x0? (2).

　　(3) 在(1)式中令x?x0?得f(x0)?f?x0?0? (3),由(2)(3)知f(x0)?f?x0?0?.类似可证f(x0)?f?x0?0?.所以f(x)在x0处连续.由x0的任意性,f(x)在?0,1?内处处连续.

　　例4 设f(x)在?a,b?上只有第一类间断点,且?x,y??a,b?有f(

　　证明 f(x)在?a,b?上连续.

　　证明 任取x0??a,b? ,当a?x?x0时,由条件f(x?yf?x??f?y?. )?22x?x0f?x??f?x0?.令x?x0?,则)?22

　　x?x0f?x0?0??f?x??,即f(x0?0)?f?x0? (1).当x0?x?b时,由?x0,f(x0?0)?22

　　x?x0f?x0?0??f?x?x?x0f?x??f?x0??条件f(,令x?x0?,则,)??x0,f(x0?0)?2222

　　即f(x0?0)?f?x0? (2).故再设a?x1?x0?x2?b且x1?x2?2x0,则有x1?x2f?x1??fx2.在此式中令x1?x0?,x2?x0?, )?22

　　f?x0?0??f?x0?0?则f(x0)? (3).由(1)(2)(3)三式得出f(x0?0)?f?x0??f?x0?0?.2f(

　　所以f(x)在x0处连续.由x0的任意性,f(x)在?a,b?内处处连续. ??

　　例5 设f(x)在(??,??)上有定义, 且

　　(1) 具有介值性即(若f(x1)???f?x2?,则存在?介于x1与x2之间,使得f(?)??); (2) 对任意有理数r,集合xf?x??r为闭集. 试证 f(x)在(??,??)上连续. 证明（反证法）若f(x)在某一点x0处不连续,则存在?0?0,使得?

　　??

　　1

　　?0,?xn,虽然n

　　xn?x0?

　　1

　　,但n

　　f?xn??f?x0???0,即

　　?xn??x0?当n??时?

　　,但

　　?f?xn??

　　在

　　?f?x0???0,f?x0???0?之外.从而在?f?x0???0,f?x0???0?之外至少一侧(例如在右侧)含有

　　?f?xn??的无穷多项,满足f(xn

　　k

　　)?f?x0???0.在?f?x0???0,f?x0???0?内任取一有理数r,

　　由介值性,对每一xnk,存在?k介于x0与xnk之间,使得f??k??r?k?1,2,??.因xnk?x0,所以

　　?k?x0?当k??时?,这表明x0是?xf?x??r?的一个聚点.据已知条件(2)知,

　　x0??xf?x??r?,即f?x0??r,这与f?x0??r矛盾!

　　例6 证明 (1) 若函数f(x),g(x)连续,则??x??min?f?x?,g?x??,??x??max?f?x?,g?x??也连续.

　　(2) 设f1(x),f2(x),f3(x)在?a,b?上连续,令f(x)的值等于三值f1(x),f2(x),f3(x)中介于其他二值之间的那个值. 证明f(x)在?a,b?上连续.

　　当x?n时??n

　　(3) 令un?x????x当?n?x?n时

　　?n当x?n时?

　　, f(x)为实函数,

　　试证明 f(x)连续当且仅当gn(x)?un?f?x??对任意固定的n,都是x的连续函数. 证明 (1) ??x??

　　f?x??g?x??f?x??g?x?

　　2

　　,??x??

　　f?x??g?x??f?x??g?x?

　　2

　　;

　　(2) f(x)?f1?x??f2(x)?f3?x??max?f1?x?,f2?x?,f3?x???min?f1?x?,f2?x?,f3?x??; (3) gn(x)?un?f?x???(?n)?f(x)?n?max??n,f?x?,n??min??n,f?x?,n?(由（2）)

　　?f(x)?max?f?x?,n??min??n,f?x???f(x)?

　　f?x??n?f?x??n

　　2

　　?

　　f?x??n?f?x??n

　　2

　　?

　　n?f?x??f?x??n

　　2

　　.由连续函数的运算性质即知它们连续.

　　例7 设f(x)在?a,b?上连续. 证明M(x)?supf?t?，m(x)?inff?t?在?a,b?上连续.

　　a?t?x

　　a?t?x

　　证明 由连续函数在闭区间上必取上,下确界可知M(x),m(x)在?a,b?上处处有定义.又因上确界随取值区间扩大而增大知, M(x)单调递增,故每点的单侧极限存在. 任取x0??a,b?,只需证M(x0?0)?M?x0??M?x0?0??M(x)?sufp?t? (1).由M(x)递增,有

　　a?t?x

　　M(x0?0)?M?x0?.又?x??a,x0?有f(x)?supf?t??M?x??M?x0?0?,所以

　　a?t?x

　　?x??M?x0?0?.故(1)式左等式成立. M?x0??sufp

　　a?x?x0

　　下用反证法证明M(x0?0)?M?x0?.因M(x)单调递增, M?x0??M?x0?0?.假设

　　M?x0??M?x0?0?,则取充分小的?0?0,使得M?x0???0?M?x0?0?.于是对任意x?x0,

　　有M?x0???0?M?x0?0??M(x)?supf?t?.由上确界的定义,存在t??a,x?使得

　　a?t?x

　　f?x0???0?M?x0???0?f?t? (2). 但在?a,x0?上. f(x)?supf?t??M?x0?.所以(2)式

　　a?t?x0

　　中的t??x0,x?,即存在?0?0,???0,当t?x0??时,有f?t??f?x0??0,即f(x)在x0处不连续,矛盾!所以即,M(x)在?a,b?上连续, m(x)在?a,b?上连续可类似证明.

　　)例8 设f(x)在(??,??内对一切x都有f(x)?fx2,且f(x)在x?0与x?1处连续.

　　??

　　证明f(x)为一常数.

　　?1?

　　证明 （1）?x?0,由条件, f(x)?f?x2??

　　????

　　1

　　?1?4?f?x???????

　　?????

　　?1nf?x2???

　　???.又f(x)在x?1处连??

　　?

　　??f?1?. ??

　　续且当n??时，x2?

　　n

　　2n

　　?1n

　　x?1,故f(x)?limf?x2

　　n???

　　?1

　　?nf?limx2?n???

　　（2）当x?0时, f(x)?fx2?f?1?(由(1), x2?0).

　　（3）当x?0时, 因f(x)在x?0处连续. f(0)?limf?x??f?0?0??f?0?0??f?1?.

　　x?0

　　??

　　故f(x)?f?1?常数..

　　例9 设f(x)是?a,b?上的连续函数,且f?x?在?a,b?上是单调的. 证明f(x)在?a,b?上也是单调的.

　　证明 若f(x)在?a,b?上恒有f(x)?0或恒有f(x)?0,则由f?x单调及f?x??f?x?可推出f(x)单调.

　　若f(x)在?a,b?上既取正值又取负值.不妨设x1?x2,满足f(x1)?0,f(x2)?0.由连续函数的介值性定理,存在x1?x0?x2,使得f(x0)?0.从而f?x1?0?f?x0??f?x2,这