数学分析3期末模拟试卷

数学分析3期末模拟试卷

一、 填空题 1、 求极限

( , )→(0,0)

lim

( + )sin (

1 +

)=___________

2、 设z=(arctan 2y)，则

=_________

3、 求曲面z=3 2+2 2在点(2, 1,14)的切线方程____________ 4、

22 =________,其中D={(x,y)| + ≤ 41

5、 求曲线积分∫ ( 2+ 2)ds,已知曲线L为 2+ 2≤ 4 二、 判断题

1，若函数f(x,y)在点( 0, 0)连续，则

→ 0, → 0

lim ( , )=lim

→ 0, → 0

lim ( , ) （ ）

2，若函数f(x,y)在点( 0, 0)连续，则f(x,y)在点( 0, 0)可微 （ ） 3，若偏导数 ( 0, 0)和 ( 0, 0)存在，则f(x,y)在点( 0, 0)可微 （ ） 4，若函数f(x,y)在点( 0, 0)可微，则f(x,y)在点( 0, 0)连续 （ ） 5，若函数f(x,y)在有界区域D上连续，则函数f(x,y)在D上可积 （ ）

三、 计算题

1，求( 2+ 2) sin ( + )的全微分 2，若F(x)=∫

cos( + ) 求F′(x)

2

2

3，已知Z=ln（x+ ）求二阶偏导4，已知验证全微分du=(3 2 2xy+ 2)dx ( 2 2xy+3 2)dy与路径无关，并求其原函数U(x,y).

5，计算 （x+2）dxdydz,其中区域V由x+y+z=1与坐标面围成。 6，求f(x)=x在[π,-π]的傅里叶级数展开式

22

7，设S为上半球球面Z=√4 ，求曲面积分 （ + ）ds

四、 证明题

1，证明反常积分f(y)=∫1

+∞cos ( )

1+ 在y∈( ∞,+∞)上一致收敛。

2,证明若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D内任一子区域D‘∈D上有 ( , ) =0,则f(x,y)≡0 ’

参考答案及考点解析

一、 填空题

1,答案：0, 当x=0时，lim =0,同理y=0时lim =

→0

→0

1

1

0，所以所求极限为0，考查的是累次极限 2， 21+ 2

考查偏导数，偏导数与全微分之间的关系为df(x,y)=

( , ) + ( , ) , =

11+ +

,本题利用(arctanx)′=

解题

3答案,12(x-2)-4(y+1)-(z-14)=0,只需记住求平面切平面及法线公式。例如求曲线F(x,y,z)在带点( 0, 0, 0)切平面为： ( 0, 0, 0)( 0)+ ( 0, 0, 0)( 0)+ ( 0, 0, 0)( 0)=0,法线为：

( 0) ( 0, 0, 0

=)

( 0) ( 0, 0, 0

=)

( 0) ( 0, 0, 0)

带入公式可得答案

4，答案：(2 √,考查二重积分的极坐标变换：令

1 = ,0≤ ≤2 2 2 1,原式=∫∫{ =(1 ∫000 = ,0≤ ≤2

√ 2

=(2 √,其中有5

′)

=

= ( )

5，答案：2π 考查第一型曲线积分公式（参数法）：L:{, ∈

= ( )

√( 2( )),( 2( ))′ ，本题[ , ],则∫()() , = ( , ( ))∫ 设

2 4 ∫0

′

= 2 ,22)(0≤ ≤2 ∫ + ={2 = ,

45

=∫ =2 0

2

二、 判断题

1.√ 2，X 3，X 4，√ 5，√（可微一定连续，但是连续不一定可微） 三、 计算题 1解：全微分 =dz=[( +

2

+

,本题的全微分

2

2)

sin ( + )′

2)′

(

sin ( + )

)+( + ( )]dx

′

+[( 2+ 2)′( sin ( + ))+( 2+ 2)( sin ( + ))]dy=[2x sin( + )+( 2+ 2)(cos( + ) sin( + ))] +[2 sin( + )+cos ( + ) sin ( + )]

2,解：考查可微性：若F(x)=∫ ( , ) 则F′(x)= ( )

′()()() , + ( , ( , ( ) ′( ))) 本题 ∫ ( ) ( )

( )

F′(x)=∫

{ sin( + ) + ( + ) }

+cos( + ) cos 2

3,解：考查高阶偏导数

2

2

2

=

()= ( ),本题 = + 2 ,

2

2

1

=

(=( + )或者先求出 = + = ( = + 12

( + 2)2

4,解：考查格林公式与路径的无关性：设P=3 2 2xy+ 2 ，Q= 2+2xy 3 2，

=2 2 ,

=2 2 ,因为

=

，所以

与路径无关，其原函数2 2 3+

( , )

U(x,y)=∫ (0,0)

+ + = 3 2 2 +

5，解：由题意得，V为一个边长为1的四面体，0≤x≤1,0≤y≤

1 x ,0≤z≤1 x y, (x+2)dxdydz=

11 1 11 ()( +2 = ∫∫∫∫∫00000

13333

) =∫( + ) = 0228

+2)(1

6,解：考查傅里叶级数展开式的公式：T=2π时， 0= ( ) , =∫ ( ) ,∫ ( ) , = ∫ 傅里叶级数展开式f(x)=

02

1

1

1

+∑∞ =1( + )特殊的当

f(x,y)为奇函数时 =0，当f(x,y)为偶函数时 =0,本题f(x,y)=x在定义域[π,-π]内为奇函数，因此 =0， 0=∫ =

0, =∫

1

2

1

=

|

1

+

∫ 1

=

( 1) +1,又因为在x=±π时，级数收敛于其算术平均数为0，因此

2∑∞( 1) +1, ∈( , ) =1 f(x,y)的傅里叶级数展开式f(x)={ 0, =±

7,解：考查曲面积分的计算公式若s为z(x,y),x,y∈D,则

，转换为二() , , = ( , , ( , )) √

重积分极坐标变换{

= ,0≤ ≤2

, ( , ) =

= ,0≤ ≤∞

( , ). ，本题中 = ′

2 22 ∫ . ∫00 =

222

（ + ）ds=( + : 2+ 2≤4 2

==

643

四、证明题 1，证明：因为|则∫1

+∞

11+

cos ( )1+ 2

|≤

11+

且∫21

+∞11+

+∞

dx=arctanx|=有界，12

4

+∞cos ( )

1+ 2

dx收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法可得∫21

在y∈( ∞,+∞)上一致收敛

2,证明：用反证法：假设f(x,y)≠0，(x,y)∈D, ( 0, 0)∈D,使f(x,y)>0,因为f(x,y)在D上连续，则f(x,y)在点( 0, 0)处连续， δ>0，对任意(x,y)∈U(( 0, 0),δ)∩D,有f(x,y)> ( 0, 0),记

21

D‘= U(( 0, 0),δ)∩D由于f(x,y)在可求面积区域D上可积，则f(x,y)在可求面积区域D’上也可积，有 ( , ) ≥ ( 0, 0) = ‘ ′

2

12

1

( 0, 0) ′>0,与题设条件 ( , ) =0矛盾，故假设不成 ’

立，证明了f(x,y)≡0

可能还会考到的知识点

1， 球面坐标变换：

= , ≤ ≤

{ = , ≤ ≤ = , ≤ ≤+∞

,

( , , ) =