2013五一赛数学建模论文

2013第十届五一数学建模联赛

题 目 大学生体质健康评价问题

摘 要

在充分理解题意的基础上，我们深入分析并建立合理的数学模型,来分析此次大学生体质健康状况的相关情况。

针对问题一，首先考虑体重对健康的影响，首先将各项测试数据归一化，然后建立六边形模型,最后得出结论：不同的体重对健康产生了显著影响；而就测试结果的正确性和准确性，我们采用TopSis法建立评价综合指标标准模型判定，对归一化后的数据建立决策矩阵，通过的综合指标标准与理想指标标准比较接近程度，即测试数据与真实数据的接近程度来判定数据的正确性和准确性，最后选出的可能偏差测试结果见表3.

针对问题二，我们使用单因素一元方差分析的MATLAB来实现数据的比较,对各个地区的大学生进行正态性检验检验各地区学生数据是否服从正态分布，方差齐性检验来检验各地区学生数据是否服从正态分布，最后进行方差分析、多重比较,通过观察箱线图,对比各地区的大学生体质水平得出结论不同地区学生的体能健康不具有显著差别.

针对问题三，我们建立模糊综合评判模型，以各测试项目作为因素，建立因素集及相应的评语集、权重集、判矩阵，再利用模糊合成运算算子得出评判向量，归一化后按照最大隶属原则判定，详细结论见图4.

针对问题四，我们通过利用问题三的结果，观察到男生的体质达标率普遍不如女生，因此分析了原因和措施手段.

关键字：Topsis法, 单因素一元方差分析,模糊综合评价模型,六边形分析法

一 问题的重述

近年来,大学生的体质健康水平呈下降趋势.中国大学生体质调查显示,2010年国民体质监测结果与1985年相比,肺活量下降了近10%；大学女生800米跑、男生1000米跑的成绩分别下降了10.3%和10.9%,立定跳远成绩分别下降了2.72厘米和1.29厘米；学生或者过重或者过瘦.影响大学生的体质健康水平的原因很多,对大学生体质健康的评价问题将为如何提高体质健康水平有现实指导意义.

学生体质健康状况已经纳入对学校整体工作的评价体系中,大学生的体质健康测试成为高等院校必须完成的任务.各高校每年都会对在校大学生做体质健康测试,将测试的结果反馈教育部,并及时公布.体质测试主要包括身体形态、身体机能、身体素质等方面,现有测试项目如下：

（1）身高、体重：评定身体匀称度,反映生长发育水平及营养状况.

（2）肺活量：测试人体呼吸的最大通气能力,反映了肺的容积和扩张能力.

（3）立定跳远：通过测试人体的跳远能力,反映下肢爆发力及身体协调能力的发展水平.

（4）握力：测试前臂及手部肌肉的力量,反映上肢肌肉力量的发展水平.

（5）坐位体前屈：测试静止状态下躯干、腰、髋等关节可能达到的活动幅度,反映身体柔韧素质的发展水平.

（6）台阶试验：测试在 3 分钟的定量负荷后心率变化情况,评定心血管功能,反映心肺机能水平.

（其中以上测试中握力这一项测试只针对于男生,坐位体前屈这一项测试只针对于女生）

我们对某高校大一新生36个班级共1000多名学生进行了体质与健康测试,测试的项目和结果见附件表1,由于测试过程中学生未能按照要求规范测试,导致测量结果中出现一些偏差,进而影响了体质健康的测试,附表2为大一新生各项测试评分标准,请回答下列问题： 问题1：影响大一新生的体质健康状况的因素很多,体重是体现体质健康状况的重要指标,分析体重对体质健康的影响；在体质健康测试中,测试结果可能存在误差,在附表1中,有些测量数据不能反映同学的真实水平,根据附表1数据,请建立数学模型检验测试结果的正确性和准确性,找出附表1中1、2、3班同学的可能偏差测试结果,并说明理由. 问题2：生源地是影响体质健康状况的因素,请在不同生源地选取适当的样本,试检验不同地区学生的体能健康是否具有显著差别.

问题3：目前,我国体能测试主要采用《国家体质健康标准》对学生体质进行评价,根据附表2中（男生：sheet1；女生：sheet2）项目评价标准,试建立体质健康评价模型,评价该校学生的体质健康状况,并对1班的30名同学进行体质健康评价. 问题4：我国大多数高校学生体质健康合格率未达到国家要求,对于未达标的大一新生来说,就如何让学生在在校期间提高自身的体质健康写一份建议报告书,其中包括提高体质健康水平的措施和手段,如何量化提高体质健康指标等问题.

二基本假设

（1）每个项目评分者的评分都建立在都公平、公正、公开的基础之上,不加入主观

因素的影响且数据来源准确.

（2）对于数值为0的数据，我们认为该生未参加该项目的检测. （3）所有检测项目已经可以代表大学生的体质健康状况.

（4）在寻找错误数据的结果分析中,将Ci<0.1的数据定为可能存在误差的数据.

S内i

第i个大学生的内六边形的面积 第i个大学生的内正六边形的面积

第i个大学生的六边形规则程度系数 理想解 负理想解

从任意可行解Zi到Z 的距离

S正i + + U V R C

从任意可行解Zi到Z 的距离 评价指标集合 评语集合

评判因素的评判决策矩阵 综合评判结果的归一化矩阵

四 思路流程图

五 模型的建立与求解

5.1

5.1.1问题分析

因为检测项目量纲不统一，模型求解都基于归一化后的原始数据矩阵.本模型先统一量纲,求出归一化矩阵数据（局部见附录一）.

我们将问题划分为对大学生和测试项目的考察,因为可能存同一大学生在不同的测试项目的得分差距较大这类情况,因此我们还需要考虑测试项目对同一大学生得分的均衡程度.为了将这两个重要的影响因素联合起来,用以归结为一个考察标准,我们通过引入六边形分析法的模型.并利用SPSS方差分析求体重与学生体质健康状况的关系.

Topsis法是有限方案多目标决策分析的一种常用方法,利用找出有限方案中的最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示）,然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离,获得各评价对象与最优方案的相对接近程度,以此作为检验数据准确性的依据. 5.1.2建立模型

’

设该案例中决策矩阵为A. 由A可以构成规范化的决策矩阵Z′,其元素为 ,且有

’

=

f

式中,fij 由决策矩阵给出.

f1，1

1 f2， A=

f 6,1

f1，2

f6,2

f1，1069

f6，1069

利用公式上及表1数据进行归一化处理,得归一化矩阵值.

模型的建立和求解建立六边形模型, 主要是考虑综合考虑六个检测项目对每个大学生的得分情况, 用一个更好的记录并反映大学生的水平的方法, 建立六边形模型, 用大学生分数六边形的面积S及其规则程度来反映大学生的水平. 面积的大小可以刻画大学生的体质健康状况的好坏, 而规则程度 可以刻画大学生对于各测试项目得分的均衡程度.

先作出一个正六边形ABCDEF, 找出其中心点记作O, 连接OA、OB、OC、OD、OE、OF再设OA=OB=OC=OD=OE=OF=1, 即是满分1分(归一化)的意思. 六个线段长度分别表示每个大学生在各个测试项目的得分,分数对应的长度计算公式为li=X(X表示测试项目大学生所得的分数). 把每个大学生的成绩分别记录在六个线段上, 以O为起点,分别到终点a、b、c、d、e、f原点O到终点的长度记为1、2、3、4、5、6. 用S内表示内六边形的面积, 可以得出内六边形的面积计算公式.设每个学生各测试项目所得分数分别为

l1、l2、l3、l4、l5、l6.则连接中心线的一端点即A、B、C、D、E、F 所得到的成绩六边形的面积计算公式为：

S内=

(l1 l2 l2 l3 l3 l4 l4 l5 l5 l6 l6 l1)

sin60

其中60°为正六边形每相邻两条中心线之间的夹角.

图1 六边形模型

再用引入了一个刻画六边形规则程度的系数μ.μ越大,说明六边形越规则, 也就说明该大学生各项测试项目得分越均衡；μ越小,六边形越不规则,也就说明每位测试项目对该大学生各项测试项目得分越不均衡.面积的大小可以刻画大学生的能力高低, 规则与否可以刻画大学生测试项目的均衡程度.由于周长相等时标准六边形面积在相同边长(此处为正六边形)下是最大的, 所以μ≤1.因此,μ也能刻画对于S的影响程度,我们设内六边形边长分别为ai（i=1,2,3,4,5）,则经过推算化简得μ的计算公式如下：

μ=S内

正

2（ ai）i 1

6

考虑以面积 内和规则程度系数μ的乘积来判定被测试大学生的体质健康状况.设健康状况用来M来表示,M越大,则学生健康状况越良好；M越小, 学生健康状况越差.M的表达式为：

M=μ S内

设决策问题有m个目标fj（j 1,2, ,m）,n个可行解Zi （Zi1,Zi2, ,Zim）（i 1,2, ,n）；并设该问题的规范化加权目标的理想解是Z+,其中

Z （Z1 ,Z2, ,Zm）

那么用欧几里得范数作为距离的测度,则从任意可行解Zi到Z 的距离为：

S

i

m

(Z

j 1

ij

Z j)2

式中,Zij 为第j个目标对第i个方案的规范化加权值.

T

同理,设Z =（Z1 ,Z2, ,Zm）为问题的规范化加权目标的负理想解,则任意可行解

Zi到负理想解Z 之间的距离为：

S

i

(Z

j 1

m

ij

2

Z j)

那么,某一可行解对于理想解的相对接近度定义为： Si

Ci

Si Si

有0≤Ci ≤1,于是,若Zi是理想解,则相应的Ci =1；若Zi是负理想解,则相应的C i =0.反之,愈接近负理想解, Zi愈靠近理想解,Ci 愈接近于1,也就是说Ci的值更接近准确值；

Ci 愈接近于0也就是说Ci的值更偏离准确值.那么,可以对 Ci 进行排序 ,以求出数据的准确度

.