实变函数复习资料

上传者：方远
|
上传时间：2015-04-15
|
密次下载

实变函数复习资料

一、集合

1、证明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。

2、证明：单调上升（下降）有上界（下界）的数列{xn}必有上确界（下确界），且sup{xn} limxn，

（inf{xn} limxn）。 nn

3、证明：若{An}单增，则limAn An；若{An}单减，则limAn An。 n n 1n n 1

114、证明：E[f a] E[f a ]；E[f a] E[f a ]。 n 1n 1nn

5、证明：任何无限集必与其一个真子集对等。

6、证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A B A。

7、证明：有理数全体成一可数集。

8、证明：开区间(0,1)是一不可数集。

9、证明：无理数全体成一不可数集。

二、点集

1、设A B，证明：A B ,A0 B0,A B。

2、证明： A A A。

3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E ,E0,E。

4、设E {(x,y)|0 x y 1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。

5、设E R，证明：E是开集，E 和E是闭集。

6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。并举例说明开集的任意交不一定是开集。

7、证明开集与闭集的对偶性。

8、证明：点集F为闭集的充要条件是F F。

9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集n012220

f 1(G) {x|f(x) G}是开集。

三、测度论

n1、若E {(0,0, ,0)} R，求mE。 *

**2、证明：若A B，则mA mB。

3、若mA 0，则对任意B，证明：m*(A B) m*B。

4、若m*(E1\E2) m*(E2\E1) 0，

证明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。

5、设S1,S2均为可测集，S2 S1且mS2 ，证明：m(S1 S2) mS1 mS2。

6、证明：凡外测度为零之集皆可测。

7、若X {1,2,3}， {{1},{2,3}}，试写出X上由所生成的代数。

8、若{En}是一列可测集，证明：

1）limEn与limEn都是可测集；

n n *

2）m(En) mEn；

n n

3）若m(

n 1UEn) ，则limmEn m(limEn)。 n n

9、若可测集列{En}满足

四、可测函数 m(En 1 n) ，证明m(limEn) 0。 n

1、若E是可测集，f(x) c,x E，c为常数，证明f(x)是E上的可测函数。

2、若E是可测集，A E，f(x)为定义在E上的函数，f(x)

数的充要条件是E为可测集。

3、设f(x)是定义在可测集E上的函数，证明：f(x)是E上的可测函数的充要条件是对任意有限实数a， 1,x A，证明f(x)是E上可测函 0,x A

E[f a]是可测集。

4、证明可测集上的连续函数必是可测函数。

5、设E R是可测集，f(x)为定义在E上的实函数，证明：f(x)为E上的可测函数的充要条件是对

任意开集G R，f 1n(G)是可测集。

6、设fn(x)依测度收敛于f(x)，证明：fn(x)依测度收敛于g(x)的充要条件是 f(x) g(x)a.e.于E。

7、设{fn(x)}是可测集E上一列可测函数，f(x) a.e.于E。若对任给 0,存在E的可测子集

E ，使得m(E\E ) ，且{fn(x)}在E 上一致收敛于f(x)，证明：{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)。

8、设E是可测集，f(x) a.e.于E，若对任给 0,存在E的闭子集F，使得m(E\F) ，且

f(x)在F上连续，证明：f(x)是E上的可测函数。

五、积分论

1、设mE ，f(x)是定义在E上的非负可测函数，证明：若f(x)在E上有界，则f(x) 在E上L可

积。

2、设E是可测集，f(x)是定义在E上的非负可测函数，证明：

1）若 Ef(x)dx 0，则f(x) 0a.e.于E；

2）若A,B是E的两个互不相交的可测子集，则 A Bf(x)dx f(x)dx f(x)dx。 AB

3、设E是可测集，f(x)与g(x)都是定义在E上的非负可测函数，

证明：若f(x) g(x)，则 Ef(x)dx g(x)dx。 B

4、设A,B是可测集且A B，f(x)是定义在B上的非负可测函数，证明： Af(x)dx f(x)dx。 B

E上一列非负可测函数，当x E时，对任意n Z有fn(x) fn 1(x)且5、设E是可测集，{fn}

n 1为

limfn(x) f(x)。若 f1(x)dx ，证明：lim fn(x)dx f(x)dx。 n En EE

6、设E是可测集，证明：

（1）设f在E上积分确定且f(x) g(x)，则g也在E上积分确定且

（2）设f和g都在E上积分确定且f(x) g(x)，则 Ef(x)dx g(x)dx。 E Ef(x)dx g(x)dx。 E

下载文档

网友关注

2017国家公务员考试银监会面试真题：银监会监管岗（安徽监管局2.18）

2018国考面试天天练之有效沟通题：新到单位如何与同事沟通(1月25日)

2018国考面试天天练之文书改错题：找出《须知》中的不妥之处(1月17日)

2018国考面试天天练之对待领导题：你会抵触新领导吗?(1月22日)

2018国考面试天天练之应对危机题：新闻谣传引起市民恐慌如何应对(1月30日)

2018国家公务员面试天天练之人际沟通题：任务很紧急但同事要请假怎么协调(2月9日)

2017国家公务员考试面试真题：国家统计局调查总队（2.25）

2018国家公务员面试模拟题：如何评价甘愿受累的“有钱人”

2018国考面试天天练之情境模拟题：现场模拟让农户出资修渠(1月16日)

2018国考面试天天练之组织会议题：策划执行一次有外宾的茶话会(2月12日)

2018国考面试天天练之微材料题：如何跟领导进行艺术性沟通(1月18日)

公务员面试热点模拟题：农村新娘结婚不要彩礼

2018国家公务员面试天天练之职业认知题：你的岗位是“冷板凳”怎么办(1.31)

2018国家公务员面试天天练之宣传活动题：组织安全教育宣传活动（1.2）

2018国家公务员面试天天练之化解纠纷题：如何处理广场舞的纠纷（1.5）

2017国家公务员考试银监会面试真题：（财会岗2.18）

2017国家公务员考试银监会面试真题：法律岗（安徽监管局2.18）

2017国家公务员考试面试真题：国家统计局调查总队（2.26）

面试热点模拟题：精于工匠于心品于行

2018国家公务员面试天天练之大学生调研题：如何确保大学生调研的有效性(2月8日)

2018国家公务员考试面试热点模拟题：“节后空巢症”怎么治？

2018国家公务员面试模拟题：“第二成绩单”

2018国考面试天天练之成本预算题：做出20台电脑的经费预算(2月11日)

2018国家公务员面试天天练之“人情”题：在单位可以“照顾”熟人吗(2.2)

2018国考面试天天练之应对媒体题：现场模拟召开新闻发布会(1月29日)

2016国家公务员面试真题：中央党群机关（2月27日）

2016国家公务考试海关面试真题（2.27）

2018国家公务员面试天天练之名言俗语类题：如何理解干一行爱一行（12.27）

2016国家公务考试海关面试真题（2.25）

2018国家公务员考试(地市)申论试题解析

网友关注视频

【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案，湖北省

外研版英语七年级下册module3 unit2第二课时

第8课对称剪纸_第一课时(二等奖)(沪书画版二年级上册)_T3784187

8.对剪花样_第一课时(二等奖)(冀美版二年级上册)_T515402

8 随形想象_第一课时(二等奖)(沪教版二年级上册)_T3786594

每天日常投篮练习第一天森哥打卡上脚 Nike PG 2 如何调整运球跳投手感？

冀教版小学数学二年级下册1

冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的整理与复习》

沪教版牛津小学英语（深圳用）四年级下册 Unit 2

化学九年级下册全册同步人教版第25集生活中常见的盐（二）

七年级英语下册上海牛津版 Unit5

【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案，安徽省

六年级英语下册上海牛津版教材讲解 U1单词

第4章幂函数、指数函数和对数函数（下）_六指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237

精品·同步课程历史八年级上册第15集近代科学技术与思想文化

冀教版小学英语四年级下册Lesson2授课视频

第五单元民族艺术的瑰宝_16. 形形色色的民族乐器_第一课时(岭南版六年级上册)_T3751175

冀教版英语四年级下册第二课

沪教版牛津小学英语（深圳用）四年级下册 Unit 12

沪教版牛津小学英语（深圳用）四年级下册 Unit 4

外研版英语三起5年级下册（14版）Module3 Unit1

冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的简单应用》

北师大版数学四年级下册第三单元第四节街心广场

第五单元民族艺术的瑰宝_15. 多姿多彩的民族服饰_第二课时(市一等奖)(岭南版六年级上册)_T129830

外研版英语七年级下册module3 unit1第二课时

沪教版牛津小学英语（深圳用）五年级下册 Unit 1

30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数_第一课时(市一等奖)(冀教版九年级下册)_T144342

冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣.mp4

小学英语单词

外研版八年级英语下学期 Module3

精品推荐

营造良好的企业文化

分类导航

生物学

方远

此文档贡献者

2015-04-15
贡献时间
密
下载次数

教育资源为主的文档平台

文档分类