极限

上传者：时或
|
上传时间：2015-04-15
|
密次下载

极限

论在极限中邻域到底起着怎样的作用：对一个函数取极限时，我们不是在取一个点而是要取到一个小空间，这个空间非常的小，可以看做接近一个点的区域，这个很小的区域就叫做某点的邻域，如果把这个点去掉，那么这个邻域就叫做去心邻域。根据函数的极限的定义：我们可以把它归结几句话。1、函数在某一去心邻域是有定义的，即是有意义的。2、当这个邻域的半径是δ（正数），在|X-xo|<δ中有|F（x）-A|<m,m是给定的正数。3、函数在Xo处的函数值是A，在Xo附近存在有A+m和A-m，这个范围是非常的小。

多元函数中只是将着个邻域扩大了，从一维扩大到多维，若是二元函数就是将一维到二维的转化。

二元函数中极限求法和一元函数的求法是相似的，都是运用基本函数之间的转化，多元函数中两个自变量，有时可以看做整体，但大部分是不可以的，都需要转化，来实现函数极限的求解。在一元函数极限中会出现根号，三角函数，反三角函数，幂函数，对数函数（大多数都说是以e为底），他们之间的变化大概有20种之多。

在一元函数中极限也被称作一重极限，二元函数极限被称作二重极限。

极限的存在是在邻域存在的基础上而存在的。

极限

高等数学

数列极限（第一节）

1、定义：设{Xn}为一数列，如果存在常数a，对于给定的正数k(不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，有|Xn-a|<k,不等式成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列{Xn}收敛于a，记为lim →∞ =a或 →

2、收敛数列的性质

定理一：（极限的唯一性）如果数列{Xn}收敛，那么他的极限唯一。证明的方法：反证法，假设极限不唯一，有两个，再去证明。

定理二：（极限的有界性）如果数列{Xn}收敛，那么数列{Xn}一定有界。证明的方法：定义证明

定理三：（收敛数列的保号性）如果lim →∞ = ，且a>0(或a<0)，那么存在正整数N>0,当n>N时，都有Xn>0(或Xn<0)。

定三推论：如果数列{Xn}从某项起有Xn>=0（或Xn<=0）,且lim →∞ = ，那么a>0(或a<0)。

定理四：（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

二、函数极限（第二节）

定义参考数列极限，但可分为下列几类。

1、当X→Xo时，有lim →xo =

2、当X→∞时，有lim → =

说明：函数的极限存在时，就有左极限和右极限之分。只有左右极限都存在时，这个函数的极限才存在。

函数极限的性质（具体参考数列极限的性质）

1、唯一性

2、局部有界性

3、局部保号性

*定理3；如果 lim →xo = (不等于0)，那么就存在着Xo的某一去心领域U，当x在U内，就有|f(x)|>|A|\2.

定理3推论：如果在Xo的某一去心领域内f(X)>=0（或f(x)<=0）,而且lim →xo = ，那么A>=0(或A<=0)。

定理四：（函数极限与数列极限的关系）如果函数极限存在，则在这个定义域内的数列也是收敛的，且满足Xn不等于Xo，那么相应的函数值数列{F（Xn）}比收敛，且数列与函数相同。

无穷小与无穷大（第三节）

1、无穷小

定义1：如果函数f(x)当x趋向Xo（或X趋向无穷大）时的极限为零，那么则称函数f(x)为当x趋向Xo（或X趋向无穷大）。

定理 1：在自变量的同一变化过程X趋向Xo（或X趋向无穷大）中，函数F（x）具有极限A的充分必要条件是F(X)=A+α，其中α是无穷小。

2、无穷大

定义2：设函数F(x)在Xo的某一去心领域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（不论它有多大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-Xo|<δ(或|x|>X)，对应的函数值总满足不等式 |f(x)|>M，那么就称函数f(X)是当X趋于Xo（或X趋于无穷大）时的无穷大。