数学实验五

实验六 水塔用水量的估计—插值

一、实验目的及意义

[1] 了解插值的基本原理

[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；

[4] 掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法； [5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；

通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。提高写作、文字处理、排版等方面的能力。

二、实验内容

1．编写拉格朗日插值方法的函数M文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）

基础实验

1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。 1）

11 x2

，x [-5,5]； 2）sinx, x [0,2 ];

注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。

解：（1）程序如下：

x=linspace(-5,5,11); y=1./(1+x.^2);

x0=linspace(-5,5,101); y0=1./(1+x.^2);

y1=interp1(x,y,x0,'spline') y2=interp1(x,y,x0);

A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)'] a=A\y'; y3=

a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10; plot(x0,y3,'r'), gtext('Lagr.'), hold on,

plot(x0,y2,'b'), gtext('Pies.Lin.'), hold on,

plot(x0,y1,'m'), gtext('Spline') hold off

2．高维插值 对于二维插值的几种方法：最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其

插值效果变化，得出什么结论？

f(x,t) sin (t px) ，参数p=1/2000~1/200；采样步长为：t=4ms~4s；

x=5~25m.

。

应用实验

3．火车行驶的路程、速度数据如表7.2，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。

表7.2

实验过程：

t0=0:2:20;

v0=[0 10 18 25 29 32 20 11 5 2 0]; t=0:0.01:20;

v=interp1(t0,v0,t,'spline'); plot(t0,v0,'r',t,v)

xlabel('t(min)'),ylabel('v(km/h)') grid

trapz(t,v)

实验结果： >> a ans = 306.3977

35

30

25

v(km/h)

20

15

10

5

02468

10t(min)

1214161820

4．确定地球与金星之间的距离

天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表7.3。

表7.3

由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？ 实验过程：

day0=18:2:30;

s0=[9.9617724 9.9543645 9.9468069 9.9390950 9.9312245 9.9231915 9.9149925]; day=18:0.001:30; sequ=9.9351799;

s=interp1(day0,s0,day);

plot(day0,s0,'r',day,s),hold on

plot(day,sequ,'g'),

title('地球与金星距离随时间变化图'); xlabel('时间day'),ylabel('距离s'); grid

图像如下：

地球与金星距离随时间变化图

距离s

18

2022

24时间day

262830

分析：进一步巩固了插值的运用，回顾了利用放大法求解数值的过程。

5 日照时间分布表7.4的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间的观测数据（单位：小时/月），试分析日照时间的变化规律。

表7.4

实验过程：

x=linspace(1,12,12);