线性代数课件16
1 2
R(A)=2,且向量α1= 1 ,α2= 1 六.已知A为3阶实对称矩阵,
0 1 是A对应于特征值λ=λ=6的特征向量,
1
2
(2011-2012学年期未考试题)(10分)
试求(1) A的另一个特征值λ3及其特征向量
解(1)QR(A)=2,∴|A|=0,
而|A|=λ1λ2λ3,且λ1=λ2=6,∴λ3=0,
(2) 矩阵A.
x1
设对应于特征值λ3的特征向量为α3= x2 ,
x 3
=0 (α1,α3)=0 x1+x2
,即有 由A为3阶实对称矩阵, 得
2x1+x2+x3=0 (α2,α3)=0
110 → 101 ,
01 1 211
从而属于特征值
1
λ3=0的全部的特征向量为kα3=k 1 ,
1 1
∴α3= 1 ,
1
(2)设可逆矩阵 P= (α1,α 2,α 3 )=及对角矩阵Λ
1 2 1 1 1 1, 0 1 1
λ1 6 ,λ2= 6= λ 0 3 0 0 → L→ 1
则有 P 1 AP=Λ,从而 A= PΛP 1, 1 1而 (P, E)= 0 0 1 1 ∴P= 3 1 3 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 2 3 3 1 1 3 3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 1 0 3 3 3 = (E, P ) 1 1 1 1 3 3 3 0
∴A=
0 1 1 4 2 2 1 1 2 1 2 1 6 1 6 3 3 3 = 2 4 2 . PΛ P= 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 2 4 0 3 3 3 2 p d f http://wendang.chazidian.com F a c to r y tr ia l v e r s io n
P D F
c re a te d
w ith
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八.设实对称矩阵
1 Q AQ=Λ . (12分)Λ Q求正交矩阵和对角矩阵,使
2 2 0 A= 2 2 0 , 0 0 6
解:
λ 2 2 0由|λ E A|= 2λ 2 0=λ (λ 4) (λ 6)= 0, 0 0λ 6
得 A的全部特征值为:λ 1= 0,λ 2= 4,λ 3= 6对应的特征向量为: 1 0 1 α1= 1 ,α 2= 1 ,α 3= 0 , 0 1 0
则α 1,α 2,α 3是正交向量组, 3 P D F c re a te d w ith p d f http://wendang.chazidian.com F a c to r y tr ia l v e r s io n
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例题与讲解：单位化: αη1= 1α1 1 2 1 = , 2 0 1 2 1= , 2 0
α2η2=α2
α3η3=α3
λ1= 0,λ2= 4,λ 3= 6 1 0 1
α1= 1 ,α 2= 1 ,α 3= 0 , 0 0 1 0 = 0 , 1
设矩阵 Q= (η1η2η3 )= Q (是正交矩阵 )
1 1 0 2 2 1 1 0 , 2 2 1 0 0
及对角矩阵
0 ,Λ= 4 6
0 . 1= 4 Q AQ=Λ则有 6 4 P D F c re a te d w ith p d f http://wendang.chazidian.com F a c to r y tr ia l v e r s io n
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思考
(2012-2013学年期未考试题 ) 2 1 1 A= 1 2 1 , 1 1 2
八.设实对称矩阵
1 QΛ Q求正交矩阵和对角阵,使 AQ=Λ . (12分)
解:
λ 2 1 1|λE A|= 1λ 2 1= (λ 1)2 (λ 4)= 0, 1 1λ 2
得 A的全部特征值为:λ 1= 1 (二重 ),λ 2= 4,对于特征值λ1= 1 (二重 ), 1 1 1 1 1 1 λ1 E A= 1 1 1 → 0 0 0 1 1 1 0 0 0
1 1 A的全部线性无关的特征向量为:α1= 1 ,α2= 0 , 1 0 P D F c re a te d w ith p d f http://wendang.chazidian.com F a c to r y tr ia l v e r s io n
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