有限维线性空间上的范数

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有限维线性空间上的范数

有限维线性空间上的范数

第二讲有限维线性空间的范数

一．有限维空间的范数的基本理论

假设V为实数域R或复数域C上的n维线性空间。我们用K来表示实数域或复数域。 1.范数的定义

定义1 若对于V中任一元素x，对应于一个非负数x，具有下列性质： (1) 非负性：x≥0， x∈V，并且当且仅当x=0，x=0； (2) 齐次性： λx= x， x∈V，α∈K；

(3) 三角不等式：x+y≤x+y，x,y∈V；(三角形第三边小于两边之和) 则称为V上的一个范数。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。由三角不等式,有x=x y+y≤x y+y，因此，x y≤x y。交换

x,y的位置，得到y x≤x y，因此，x y≤x y。(三角形两边之差小于第三边) 2.坐标范数

任取V的一组基ε1,ε2, ,εn，任取x∈V，设x在基ε1,ε2, ,εn下的坐标为

ξ=(ξ1,ξ2, ,ξn)T。令T:V→Kn，Tx=ξ，则T为一个线性映射。易见： T:

=2, x∈V为V的范数。称其为V关于基ε1,ε2, ,εn的坐标范数，简称坐

标范数。 3.范数的连续性

赋范线性空间V的范数x作为x的实值函数，具有下述意义的连续性。定理1 设ε1,ε2, ,εn为V的一组基，则V中定义的任何范数是元素在这组基下的坐标的连续函数。

证明：任取x=ξ1ε1+ξ2ε2+ +ξnεn，y=η1ε1+η2ε2+ +ηnεn，则

有限维线性空间上的范数

当η→ξ时，显然有x y→0，因此，V中定义的任何范数是元素在这组基下的坐标的连续函数。 4.范数的等价性 ① 范数等价的定义

设 1, 2为赋范线性空间V的两个范数，若存在正常数c1,c2，使得

c1x≤x2≤c2x， x∈V

则称范数 1, 2等价。 ② 范数等价的性质

容易证明范数等价是范数之间的一种等价关系，满足等价关系的三大性质： (1) 自反性：V的任何范数都和自身等价。 (2) 对称性：若 1和 2等价，则 2和等价。

(3) 传递性：若 1和 2， 2和 3等价，则 1和 3等价。 ③ 有限维线性赋范空间范数的等价性

定理2 设为V的任意一种范数，则与 T等价。( T的意义在之前已经说明了) 证明：

任取V的一组基ε1,ε2, ,εn，任取x∈V，x在该基下的坐标为ξ，则x因此，单位球ξ∈K

=ξ2。

{

=1上的函数

}

∑ξε

i=12

有最大值M和最小值m。现在，

证明m>0。若m=0，则存在ξ∈K,ξ

=1，使得

∑ξε

i=1

=0。但

∑ξε

i=1

=0当

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有限维线性空间上的范数

且仅当∑ξiεi=0，即ξ=0。矛盾！

i=1

mx对于任意x≠0，

≤x=

≤MxT。对于x=0，则x

=x=0，

不等式也成立。综上所述，与 T等价。结论证毕！

由范数等价的传递性，马上有：

推论1 有限维赋范线性空间任意两个范数都等价。 5.赋范线性空间元素列收敛问题

引入范数是为了刻画收敛。

定义2 设ε1,ε2, ,εn为V的一组基。{x(k)}为V中一列元素，x(k)在这组基下的坐标为ξ(k)=(ξ1(k),ξ2(k), ,ξn(k))，k=1,2, 。若limξi(k)=ξi，i=1,2, ,n，则称{x(k)}

k→∞

在这组基下依坐标收敛于∑ξiεi。

i=1

定义3 设为V的任意一个范数。{x(k)}为V中一列元素，若存在x∈V，使得

limx(k) x=0，则称{x(k)}依范数收敛于x。

k→∞

(k)n(k)

当且仅当limξi(k)=ξi， x=∑ξiεi 在基ε1,ε2, ,εn依坐标收敛于∑ξiεi，k→∞

i=1i=1

i=1,2, ,n，即limξ(k) ξ

k→∞

=0，即limx(k) x

k→∞

=0，即{x(k)}依范数 T收敛

于x。

由范数的等价性，序列按范数的收敛性与范数的选取无关。又依据上面所论述的的依坐标收敛和依范数收敛之间的关系，就知道{x(k)}依坐标收敛也与坐标的选取无关。

Cn和Cm×n是有限维的线性空间，在其上定义的范数都是等价的。不过，从具体的数值计算的观点来看，在上面选取适当的范数还是很重要的。

以下不必再给出向量范数和矩阵范数的定义了。

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