有限维线性空间上的范数
上传者:匡兵|上传时间:2015-04-15|密次下载
有限维线性空间上的范数
有限维线性空间上的范数
第二讲 有限维线性空间的范数
一.有限维空间的范数的基本理论
假设V为实数域R或复数域C上的n维线性空间。我们用K来表示实数域或复数域。 1.范数的定义
定义1 若对于V中任一元素x,对应于一个非负数x,具有下列性质: (1) 非负性:x≥0, x∈V,并且当且仅当x=0,x=0; (2) 齐次性: λx= x, x∈V,α∈K;
(3) 三角不等式:x+y≤x+y,x,y∈V;(三角形第三边小于两边之和) 则称 为V上的一个范数。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。 由三角不等式,有x=x y+y≤x y+y,因此,x y≤x y。交换
x,y的位置,得到y x≤x y,因此,x y≤x y。(三角形两边之差小于第三边) 2.坐标范数
任取V的一组基ε1,ε2, ,εn,任取x∈V,设x在基ε1,ε2, ,εn下的坐标为
ξ=(ξ1,ξ2, ,ξn)T。令T:V→Kn,Tx=ξ,则T为一个线性映射。易见: T:
x
T
=2, x∈V为V的范数。称其为V关于基ε1,ε2, ,εn的坐标范数,简称坐
标范数。 3.范数的连续性
赋范线性空间V的范数x作为x的实值函数,具有下述意义的连续性。 定理1 设ε1,ε2, ,εn为V的一组基,则V中定义的任何范数是元素在这组基下的坐标的连续函数。
证明:任取x=ξ1ε1+ξ2ε2+ +ξnεn,y=η1ε1+η2ε2+ +ηnεn,则
1
有限维线性空间上的范数
当η→ξ时,显然有x y→0,因此,V中定义的任何范数是元素在这组基下的坐标的连续函数。 4.范数的等价性 ① 范数等价的定义
设 1, 2为赋范线性空间V的两个范数,若存在正常数c1,c2,使得
c1x≤x2≤c2x, x∈V
则称范数 1, 2等价。 ② 范数等价的性质
容易证明范数等价是范数之间的一种等价关系,满足等价关系的三大性质: (1) 自反性:V的任何范数都和自身等价。 (2) 对称性:若 1和 2等价,则 2和 等价。
(3) 传递性:若 1和 2, 2和 3等价,则 1和 3等价。 ③ 有限维线性赋范空间范数的等价性
定理2 设 为V的任意一种范数,则 与 T等价。( T的意义在之前已经说明了) 证明:
任取V的一组基ε1,ε2, ,εn,任取x∈V,x在该基下的坐标为ξ,则x因此,单位球ξ∈K
T
=ξ2。
{
n
2
=1上的函数
}
∑ξε
i=12
n
ii
有最大值M和最小值m。现在,
n
n
证明m>0。若m=0,则存在ξ∈K,ξ
n
=1,使得
∑ξε
i=1
ii
=0。但
∑ξε
i=1
ii
=0当
2
内容需要下载文档才能查看
有限维线性空间上的范数
且仅当∑ξiεi=0,即ξ=0。矛盾!
i=1
n
mx对于任意x≠0,
T
≤x=
x
xT
x
T
≤MxT。对于x=0,则x
T
=x=0,
不等式也成立。综上所述, 与 T等价。结论证毕!
由范数等价的传递性,马上有:
推论1 有限维赋范线性空间任意两个范数都等价。 5.赋范线性空间元素列收敛问题
引入范数是为了刻画收敛。
定义2 设ε1,ε2, ,εn为V的一组基。{x(k)}为V中一列元素,x(k)在这组基下的坐标为ξ(k)=(ξ1(k),ξ2(k), ,ξn(k)),k=1,2, 。若limξi(k)=ξi,i=1,2, ,n,则称{x(k)}
k→∞
在这组基下依坐标收敛于∑ξiεi。
i=1
n
定义3 设 为V的任意一个范数。{x(k)}为V中一列元素,若存在x∈V,使得
limx(k) x=0,则称{x(k)}依范数 收敛于x。
k→∞
n
(k)n(k)
当且仅当limξi(k)=ξi, x=∑ξiεi 在基ε1,ε2, ,εn依坐标收敛于∑ξiεi,k→∞
i=1i=1
i=1,2, ,n,即limξ(k) ξ
k→∞
2
=0,即limx(k) x
k→∞
T
=0,即{x(k)}依范数 T收敛
于x。
由范数的等价性,序列按范数的收敛性与范数的选取无关。 又依据上面所论述的的依坐标收敛和依范数收敛之间的关系,就知道{x(k)}依坐标收敛也与坐标的选取无关。
Cn和Cm×n是有限维的线性空间,在其上定义的范数都是等价的。不过,从具体的数值计算的观点来看,在上面选取适当的范数还是很重要的。
以下不必再给出向量范数和矩阵范数的定义了。
3
下载文档
热门试卷
- 2016年四川省内江市中考化学试卷
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
- 四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
- 2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
- 重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
- 江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
- 内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
- 2017年六年级(上)数学期末考试卷
- 2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
- 江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
- 重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
- 山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
- 【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
- 四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
- 四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
- 安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考高三英语试卷
- 山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
- 福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
- 甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷
网友关注
- 会议纪要怎么写
- 会议纪要记录
- 收费站党风廉政建设宣传教育工作会会议纪要
- 中国科学学与科技政策研究会第一届常务理事会第五次会议纪要
- [教学]分户验收会议纪要
- 怎样写好会议纪要
- 加入WTO后中国磁学和磁性材料发展趋势研讨会会议纪要
- 物料输送初步方案会议纪要
- 会议纪要_的特征、例析与写作要领
- 公文写作范例会议纪要
- [教学]公司会议纪要范文
- 会议纪要模板2010[资料]
- [最新]会议纪要指南及模板
- 会议纪要模板
- 第17期监理例会会议纪要(3月30日)[精彩]
- 文书写作:会议纪要
- 学会拟写会议纪要
- 如何写好会议纪要80770
- 会议纪要写作格式及范文
- [资料]会议纪要回档留底
- 项目会议纪要表
- 会议纪要
- 监理会议纪要
- 中国科学学与科技政策研究会第一届理事会第二次全体会议纪要
- 会议纪要
- [精品]会议纪要的写法
- “会议纪要”的性质及其可诉性研究
- 第三节 会议纪要 一
- C2B的未来:深度定制户外手机(青橙手机)
- 会议纪要1
网友关注视频
- 人教版历史八年级下册第一课《中华人民共和国成立》
- 北师大版数学四年级下册第三单元第四节街心广场
- 【部编】人教版语文七年级下册《过松源晨炊漆公店(其五)》优质课教学视频+PPT课件+教案,江苏省
- 第五单元 民族艺术的瑰宝_16. 形形色色的民族乐器_第一课时(岭南版六年级上册)_T1406126
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 12
- 沪教版八年级下册数学练习册21.4(1)无理方程P18
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《余数和除数的关系》
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的竖式计算》
- 《空中课堂》二年级下册 数学第一单元第1课时
- 冀教版英语五年级下册第二课课程解读
- 二次函数求实际问题中的最值_第一课时(特等奖)(冀教版九年级下册)_T144339
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
- 人教版二年级下册数学
- 外研版英语三起5年级下册(14版)Module3 Unit1
- 化学九年级下册全册同步 人教版 第18集 常见的酸和碱(二)
- 【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的整理与复习》
- 【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 8
- 沪教版八年级下册数学练习册一次函数复习题B组(P11)
- 冀教版小学英语五年级下册lesson2教学视频(2)
- 外研版八年级英语下学期 Module3
- 8.练习八_第一课时(特等奖)(苏教版三年级上册)_T142692
- 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数_第一课时(市一等奖)(冀教版九年级下册)_T144342
- 冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣.mp4
- 3.2 数学二年级下册第二单元 表内除法(一)整理和复习 李菲菲
- 19 爱护鸟类_第一课时(二等奖)(桂美版二年级下册)_T3763925
- 二年级下册数学第一课
- 飞翔英语—冀教版(三起)英语三年级下册Lesson 2 Cats and Dogs
- 外研版英语三起5年级下册(14版)Module3 Unit2
精品推荐
- 2016-2017学年高一语文人教版必修一+模块学业水平检测试题(含答案)
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
分类导航
- 互联网
- 电脑基础知识
- 计算机软件及应用
- 计算机硬件及网络
- 计算机应用/办公自动化
- .NET
- 数据结构与算法
- Java
- SEO
- C/C++资料
- linux/Unix相关
- 手机开发
- UML理论/建模
- 并行计算/云计算
- 嵌入式开发
- windows相关
- 软件工程
- 管理信息系统
- 开发文档
- 图形图像
- 网络与通信
- 网络信息安全
- 电子支付
- Labview
- matlab
- 网络资源
- Python
- Delphi/Perl
- 评测
- Flash/Flex
- CSS/Script
- 计算机原理
- PHP资料
- 数据挖掘与模式识别
- Web服务
- 数据库
- Visual Basic
- 电子商务
- 服务器
- 搜索引擎优化
- 存储
- 架构
- 行业软件
- 人工智能
- 计算机辅助设计
- 多媒体
- 软件测试
- 计算机硬件与维护
- 网站策划/UE
- 网页设计/UI
- 网吧管理