教育资源为主的文档平台

当前位置: 查字典文档网> 所有文档分类> 高等教育> 理学> 有限维线性空间上的范数

有限维线性空间上的范数

上传者:匡兵
|
上传时间:2015-04-15
|
次下载

有限维线性空间上的范数

有限维线性空间上的范数

第二讲 有限维线性空间的范数

一.有限维空间的范数的基本理论

假设V为实数域R或复数域C上的n维线性空间。我们用K来表示实数域或复数域。 1.范数的定义

定义1 若对于V中任一元素x,对应于一个非负数x,具有下列性质: (1) 非负性:x≥0, x∈V,并且当且仅当x=0,x=0; (2) 齐次性: λx= x, x∈V,α∈K;

(3) 三角不等式:x+y≤x+y,x,y∈V;(三角形第三边小于两边之和) 则称 为V上的一个范数。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。 由三角不等式,有x=x y+y≤x y+y,因此,x y≤x y。交换

x,y的位置,得到y x≤x y,因此,x y≤x y。(三角形两边之差小于第三边) 2.坐标范数

任取V的一组基ε1,ε2, ,εn,任取x∈V,设x在基ε1,ε2, ,εn下的坐标为

ξ=(ξ1,ξ2, ,ξn)T。令T:V→Kn,Tx=ξ,则T为一个线性映射。易见: T:

x

T

=2, x∈V为V的范数。称其为V关于基ε1,ε2, ,εn的坐标范数,简称坐

标范数。 3.范数的连续性

赋范线性空间V的范数x作为x的实值函数,具有下述意义的连续性。 定理1 设ε1,ε2, ,εn为V的一组基,则V中定义的任何范数是元素在这组基下的坐标的连续函数。

证明:任取x=ξ1ε1+ξ2ε2+ +ξnεn,y=η1ε1+η2ε2+ +ηnεn,则

1

有限维线性空间上的范数

当η→ξ时,显然有x y→0,因此,V中定义的任何范数是元素在这组基下的坐标的连续函数。 4.范数的等价性 ① 范数等价的定义

设 1, 2为赋范线性空间V的两个范数,若存在正常数c1,c2,使得

c1x≤x2≤c2x, x∈V

则称范数 1, 2等价。 ② 范数等价的性质

容易证明范数等价是范数之间的一种等价关系,满足等价关系的三大性质: (1) 自反性:V的任何范数都和自身等价。 (2) 对称性:若 1和 2等价,则 2和 等价。

(3) 传递性:若 1和 2, 2和 3等价,则 1和 3等价。 ③ 有限维线性赋范空间范数的等价性

定理2 设 为V的任意一种范数,则 与 T等价。( T的意义在之前已经说明了) 证明:

任取V的一组基ε1,ε2, ,εn,任取x∈V,x在该基下的坐标为ξ,则x因此,单位球ξ∈K

T

=ξ2。

{

n

2

=1上的函数

}

∑ξε

i=12

n

ii

有最大值M和最小值m。现在,

n

n

证明m>0。若m=0,则存在ξ∈K,ξ

n

=1,使得

∑ξε

i=1

ii

=0。但

∑ξε

i=1

ii

=0当

2

内容需要下载文档才能查看

有限维线性空间上的范数

且仅当∑ξiεi=0,即ξ=0。矛盾!

i=1

n

mx对于任意x≠0,

T

≤x=

x

xT

x

T

≤MxT。对于x=0,则x

T

=x=0,

不等式也成立。综上所述, 与 T等价。结论证毕!

由范数等价的传递性,马上有:

推论1 有限维赋范线性空间任意两个范数都等价。 5.赋范线性空间元素列收敛问题

引入范数是为了刻画收敛。

定义2 设ε1,ε2, ,εn为V的一组基。{x(k)}为V中一列元素,x(k)在这组基下的坐标为ξ(k)=(ξ1(k),ξ2(k), ,ξn(k)),k=1,2, 。若limξi(k)=ξi,i=1,2, ,n,则称{x(k)}

k→∞

在这组基下依坐标收敛于∑ξiεi。

i=1

n

定义3 设 为V的任意一个范数。{x(k)}为V中一列元素,若存在x∈V,使得

limx(k) x=0,则称{x(k)}依范数 收敛于x。

k→∞

n

(k)n(k)

当且仅当limξi(k)=ξi, x=∑ξiεi 在基ε1,ε2, ,εn依坐标收敛于∑ξiεi,k→∞

i=1i=1

i=1,2, ,n,即limξ(k) ξ

k→∞

2

=0,即limx(k) x

k→∞

T

=0,即{x(k)}依范数 T收敛

于x。

由范数的等价性,序列按范数的收敛性与范数的选取无关。 又依据上面所论述的的依坐标收敛和依范数收敛之间的关系,就知道{x(k)}依坐标收敛也与坐标的选取无关。

Cn和Cm×n是有限维的线性空间,在其上定义的范数都是等价的。不过,从具体的数值计算的观点来看,在上面选取适当的范数还是很重要的。

以下不必再给出向量范数和矩阵范数的定义了。

3

版权声明:此文档由查字典文档网用户提供,如用于商业用途请与作者联系,查字典文档网保持最终解释权!

下载文档

热门试卷

2016年四川省内江市中考化学试卷
广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
2017年六年级(上)数学期末考试卷
2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考​高三英语试卷
山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷

网友关注视频

【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,广东省
化学九年级下册全册同步 人教版 第25集 生活中常见的盐(二)
【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 3
3月2日小学二年级数学下册(数一数)
六年级英语下册上海牛津版教材讲解 U1单词
青岛版教材五年级下册第四单元(走进军营——方向与位置)用数对确定位置(一等奖)
《空中课堂》二年级下册 数学第一单元第1课时
外研版英语三起6年级下册(14版)Module3 Unit1
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 4
沪教版牛津小学英语(深圳用)五年级下册 Unit 1
冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的简单应用》
第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下)_六 指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237
沪教版八年级下册数学练习册一次函数复习题B组(P11)
七年级英语下册 上海牛津版 Unit5
【获奖】科粤版初三九年级化学下册第七章7.3浓稀的表示
北师大版数学 四年级下册 第三单元 第二节 小数点搬家
外研版八年级英语下学期 Module3
精品·同步课程 历史 八年级 上册 第15集 近代科学技术与思想文化
外研版英语七年级下册module3 unit1第二课时
冀教版小学英语四年级下册Lesson2授课视频
二年级下册数学第二课
沪教版八年级下册数学练习册21.4(1)无理方程P18
冀教版英语四年级下册第二课
人教版二年级下册数学
北师大版数学四年级下册第三单元第四节街心广场
沪教版八年级下次数学练习册21.4(2)无理方程P19
冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的整理与复习》
沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 7