《高等几何》朱德祥答案

第一章 仿射几何的基本概念

1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与

一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D' （图1）。∵T保留简比不变， 即（BCD）=（B'C'D'）= -1，

∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。 ∵在等腰△ABC中，β=γ。

设T（ β）= β'，T（ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。 ∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则AD BC，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。 由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T将△ABC 变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。 设G是△ABC的重心，且G'=T(G)

∵G∈AD，由结合性得G '∈A'D'；

D 3 又∵（AGD）=（A'G'D'）即 AD A

GD

D 1G

图(1)

BEB E 3CFC F 3

，

GEG E 1GFG F 1

∴G'是△A'B'C'的重心。 4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。

证明：设在仿射对应下梯形ABCD（AB CD）与四边形A'B'C'D'相对应，

由于仿射对应保持平行性不变，因此 A'B' C'D'，所以A'B'C'D'为梯形。

5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。

证明：设T为仿射变换，A1B1C1D1与A2B2C2D2为两个全等矩形，其面积分别以S1=S2。

由于T保留平行性，所以：

图2

T（A1B1C1D1）= 平行四边形A'1B'1C'1D'1, 面积记为：S'1

T（A2B2C2D2）= 平行四边形A'2B'2C'2D'2, 面积记为：S'2，

S KS1

且 S'1=K S1，S'2=KS2， 1 1 S1 S2

KS2S2∴ A'1B'1C'1D'1与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。

6、经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点，求简比（ABP） 解：设P点的坐标为（x0，yo）

APAP 3 6 2

， 而:x0 (ABP) （分割比）,y0

BPPB1 1

3 6 2

且P在直线x+3y-6=0上， () 3() 6 0

1 1

解得λ=1，即P是AB中点，且（ABP）=－1。

7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的联线段分成

Ax By1 C

的比是 1

Ax2 By2 C

AP

证明 设分点为P（x0，y0），则分割比λ= ，

PB

x x2y y2

x0 1,y0 1( 1)

1 1 P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上， x x2y y2

A(1) B(1) C 0

1 1

Ax1+By 1+C+λ(Ax2+By2+C)=0

图(3)

Ax1 By1 C

Ax2 By2 C

8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。

证明：若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线a'上的两段

A'B'和C'D'对应图（3）

9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？ 证明：设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F'，点O是F的对称中心，

A，B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。 设T（O）=O'，T（A）=A' T（B）=B'。

∵T（F）=F'，由结合性，点A'，B'在图形F'上；

由简比不变性，（ABO）= (A'B'O')。

ABABBCA B B C A B

, 得证。

CDBCCDBCCDCD

所以F'是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。

如果点A、B关于直线l（平面π）对称，则线段AB⊥1（AB⊥π）。

但仿射变换不保留角的度量，所以当T（A）=A'，T（B）=B'， T（1）=1'（T（π）=π'）时，线段A'B'不一定垂直线1'（平面π'）。

10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。

证明：设在笛氏坐标系下直线方程为： Ax+By+C=0 （1） （x,y）为笛氏坐标，（x'，y'）为仿射坐标。

x 1x 2y 0

笛氏到仿射的变换式为： y x y

120

x a1x a2y a0

设其逆变换为： y bx by b

120

将（3）式代入（1），得

A（a1x'+a2y'+a0）+B (b1x'+b2y'+b0) +C=0, 即：(Aa1+Bb1)x'+(Aa2+Bb2)y'+Aa0+Bb0+C=0，

记为： 0 是x',y'的一次式。

1 2

0(2)

1 2

0(3)

a1a2b1

b2

其中 =Aa1+Bb1, =Aa2+Bb2， =Aa0+Bb0+C0

且,不全为0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=0

a1a2b1

b2

0与

a1a2b1

b2

0矛盾。

11、利用仿射变换式，试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？

（从而明确1.2定理5所指常数的意义）。 解：ΔA1A2A3和ΔA'1A'2A'3的面积分别以S, S'表示，

x1

1

S x22

x3 1y1a11x1 a12y1 a13

1

1=a11x2 a12y2 a13y2

2 1y3a11x3 a12y3 a13

a21x1 a22y1 a23

1

a21x2 a22y2 a231

a21x3 a22y3 a231

(常数)

1x22x3

x1y11a11y21a12y31a13

a21a22a23

00 1

1S

DS D2S

这结果与§1.2系2一致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数k，此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。

12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显

然共线（在对称轴上），试用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题？

解：设E，F，Q，P分别是等腰梯形ABCD下底，上底的中点，对角线交点，要腰

所在直线交点，T为仿射变换，

则梯形ABCD 梯形A'B'C'D'，E E'为B'C'中点， F F'为A'D' 中点。

∵（BDQ）=（B'D'Q'）,(ACQ)=（A'C'Q'）,

（BAP）=（B'A'P'）,(CDP)=(C'D'P')

T

T

T

图(

4)

且E，Q，F，P共线，∴由结合性得E'，Q'，F'，P' 四点共线，但直线P'E'已不是对称轴（图4）。由此得出，任意梯形上、下底中点，对角线交点，两腰所在直线交点凡四点共线。

x 3x y 4

13、求仿射变换的自对应点和自对应直线；

y 4x 2y

解：求自对应点：设x=x', y =y'，因此得

2x y 4 0

4x 3y 0

解得自对应点的坐标为x=-6，y=-8。

求自对应直线，设任意直线l（u,v,w）在所给的变换下的像1' 的方程为：

u'x'+v'y'+w'=0

u' (3x－y+4)+v' (4x－2y) +w' =0，或（3u'+4v'）x－(u'+2v')y+4u'+w'=0。 若1为自对应直线，则u=λu'，v=λv'，w=λw'，因此

3u 4v u 3 u 4v 0

u 2v v u 2 v 0(1) 4u w w 4u 1 w 0

因为u'，v'，w'不全为零，所以方程组(1)有非零解。

3

故 1

40

4

2 0 0 解得λ1=2，λ2=－1，λ3=1，

01

将λ1=2代入方程组(1)，得u'= 4, v' =－1，w' =16。

将λ2=－1代入方程组(1)，得u'=1, v'=－1，w'=－2。 将λ3=1代入方程组(1)，得u'=0, v'=0，w'=1。

就本章内容而言，λ=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为：

4x－y+16=0和x－y－2=0。

第二章 欧氏平面的拓广

1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。 证：设△SAC为等腰三角形（SA=SC）,SB⊥AC, 过A作

一射线平行于SC交SB的延长线于B1, 交SC于C∞（图5），则A,B1,C∞在中心S的投影下分别是A,B,C的像点，

AS

B

B1

C

C

∵（ABC）=

ACAC

2, 而（AB1C∞）= 1， BCB1C

∴（ABC）≠（AB1C∞）, 即中心投影一般不保留共线三点的简比。

2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线？

（1）（1，1－1）； （2）（1，－1，0）；（3）（0，1，0）。 解 利用点线结合方程：u1x1+u2x2+u3x3=0.

(1) ∵u1=1, u2=1, u3=－1, ∴x1+x2－x3=0，非齐次化为：x+y－1=0. (2) x1－x2=0或x－y=0。（3）x2=0或y=0是x轴的方程。

3、求联接点（1,2,－1）与二直线（2,1,3），（1，－1，0）之交点的直线方程。 解 先求二直线（2,1,3），（1，－1，0）的交点坐标：

x1：x2：x3=

133221

:: 3:3: 3 1:1: 1 10011 再求两点（1，1，－1），（1，2，－1）的联线的坐标： u1：u2：u3=

1 1 111

:: 1:0:1 所求直线方程为：x1+x3=0或x+1=0 2 1 112

4、求直线（1,－1,2）与二点（3，4，－1）,(5,－3,1)之联线的交点坐标。

解：先求二点（3，4，－1），(5,－3,1)的联线坐标：

u1：u2：u3=

1 1334

:: 1: 8: 29

31155 3

122 1

:: 45:31: 7

8 29 291 8

4

再求二直线（1,－1,2），（1，－8，－29）的交点坐标： x1：x2：x3=

C

所求交点坐标为（45，31，－27）。