第三章 完全且完美信息动态博弈Word

　　第三章 完全且完美信息动态博弈本章讨论动态博弈，所有博弈方都对博弈过程和得益完全了解的完全且完美信息动态博弈。这类博弈也是现实 中常见的基本博弈类型。由于动态博弈中博弈方的选择、 行为有先后次序，因此在表示方法、利益关系、分析方法 和均衡概念等方面，都与静态博弈有很大区别。本章对动

　　态博弈分析的概念和方法，特别是子博弈完美均衡和逆推归纳法作系统介绍，并介绍各种经典的动态博弈模型。

　　本章分六节3.1动态博弈的表示法和特点 3.2可信性和纳什均衡的问题 3.3子博弈和子博弈完美纳什均衡 3.4几个经典动态博弈模型 3.5有同时选择的动态博弈模型 3.6动态博弈分析的问题和扩展讨论

　　逆向归纳法的应用例子私奔博弈在我国汉代，有个青年作家叫司马相如，有个年轻的寡妇叫卓文君。但这门亲事遭到文君父亲的反对。父亲对文君说，你若跟司马相如 结婚，那么就将脱离父女关系。

　　现在，卓文君应该怎样选择？是屈从父亲，还是跟心上人结婚？

　　海盗分赃话说有5个海盗抢来了100枚金币，大家决定分赃的方式是：由海 盗一提出一种分配方案。如果同意这种方案的人达到半数，那么该提 议就通过并付诸实施；若同意这种方案的人未达半数，则提议不能通 过且提议人将被扔进大海喂鲨鱼，然后由接下来的海盗继续重复提议 过程，假设每个海盗都绝顶聪明，也不相互合作，并且每个海盗都想 尽可能多得到金币，那么，第一个提议的海盗将怎样提议即可以使得 提议被通过又可以最大限度得到金币呢？

　　如果他们就是第一个海盗会怎么分。答案五花八门，但是大多数是表示 平均分—这可能是现实中的情况，公平观念在博弈中发挥着作用。但是 标准博弈论是研究人们完全理性的情况下极端复杂的策略互动后果，这 里的平均分配并不符合标准博弈论的逻辑。

　　那么答案究竟是什么呢？使用逆向归纳法可以求解如下： 首先，考虑只剩下最后的海盗五，显然他会分给自己100枚，并赞成自

　　己。

　　再回溯到只剩下海盗四和海盗五的决策，海盗四分给自己100枚并赞成 五自己；海盗五被分得0枚，即使反对也无用。

　　回到海盗三，海盗三可以分给海盗五的决策1枚得到海盗五的同意；分 给自己99枚，自己也同意；分给海盗0枚，海盗四反对但无用。

　　回到海盗二，海盗二分给海盗四1枚得的海盗四同意；分给自己99枚，自己

　　也同意；海盗三、五分得0枚，他们会反对但反对没有用。回到海盗一，他可以分给海盗三、五各1枚，获得海盗三、五的同意；分给 自己98,自己也同意；分给海盗

　　二、四各0枚，他们会反对但反对不起作用。

　　因此这个海盗分赃问题的答案是(98,0,1,0,1)。

　　还可以演化不同的版本。

　　(1)如果要求包括提议海盗在内的所有海盗过半数(超过1/2)同意才能使提议通过，那么海盗一应该怎么提方案？ (2)如果要求提议海盗之外的海盗过半数同意才能通过，那么海盗一又该

　　怎么提方案？(3)或者海盗的数目增加到10个、100个，海盗一又怎么提方案？ 问题1 (97,0,1,2,0)或(97,0,1,0,2) 问题2 (97,0,1,1,1)

　　问题3 逐渐增加海盗的数量，将会发现答案是有规律可循的。

　　3.1 动态博弈的表示法和特点

　　3.1.1 阶段和扩展性表示 3.1.2 动态博弈的基本特点

　　3.1.1 阶段和扩展性表示

　　阶段：动态博弈中一个博弈方的一次选择行为 例子：仿冒和反仿冒博弈A 仿冒 B 制止 (-2,5) 制止 (2,2) 仿冒 B 不仿冒 不制止 (0,10) A 不仿冒

　　不制止 (5,5)(10,4)

　　3.1.2 动态博弈的基本特点

　　策略是在整个博弈中所有选择、行为的计划结果是上述“计划型”策略的策略组合，构成一条路径 得益对应每条路径，而不是对应每步选择、行为

　　动态博弈的非对称性——先后次序决定动态博弈必然是 非对称的。

　　先选择、行为的博弈方常常更有利，有“先行优势”。

　　3.2 可信性和纳什均衡的问题

　　3.2.1 相机选择和策略中的可信性问题 3.2.2 纳什均衡的问题 3.2.3 逆推归纳法

　　3.2.1 相机选择和策略中的可信性问题不同版本的开金矿博弈——分钱和打官司的可信性借甲 分 乙 不借 借 甲 ( 1 , 0 ) 不分 分 (0,4) (2,2) 打 (1,0) 乙 不借 乙 借 甲 分 不借

　　(1,0) 不分 乙 不打 (0,4)

　　(2,2)

　　(2,2)

　　打

　　(1,0) 不分 乙 不打

　　(-1,0)

　　(0,4)

　　开金矿博弈

　　有法律保障的开金矿博弈 ——分钱打官司都可信

　　法律保障不足的开金矿博弈 ——分钱打官司都不可信

　　3.2.2 纳什均衡的问题第三种开金矿博弈中， (不借-不打， 不分)和(借-打，分)都是纳什均衡。但 后者不可信，不可能实现或稳定。 博弈的策略形： 分 不分 借打 2,2 -1,0 借不打 2,2 0,4 不借 1,0 1,0

　　3.3.2 子博弈完美纳什均衡定义：如果一个完美信息的动态博弈中，各博弈方的策略构成的一个策略组合满足，在整个动态博弈及它的所有 子博弈中都构成纳什均衡，那么这个策略组合称为该动 态博弈的一个“子博弈完美纳什均衡”。

　　子博弈完美纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威胁

　　和承诺，因此是真正稳定的。

　　逆推归纳法是求完美信息动态博弈子博弈完美纳什均衡

　　的基本方法。

　　3.4 几个经典动态博弈模型

　　3.4.1 寡占的斯塔克博格模型 3.4.2 劳资博弈 3.4.3 讨价还价博弈 3.4.4 委托人—代理人理论

　　3.4.1 寡占的斯塔克博格模型

　　先后选择产量的产量竞争博弈 把古诺模型改为厂商1先选择，厂商2后选择，而非同 时选择即可。Q q1 q2 , P P(Q) 8 Q

　　c1 c2 22

　　u1 q1P(Q) c1q1 q1[8 (q1 q2 )] 2q1 6q1 q1q2 q12 u2 q2 P(Q) c2q2 q2[8 (q1 q2 )] 2q2 6q2 q1q2 q2厂商1 厂商2 产量 3单位 1.5单位 得益 4.5 2.25先行优势

　　寡占的斯塔克博格模型由于本博弈是一个动态博弈，因此我们考虑用递推归纳法来分析。根据逆推

　　归纳法的思路，首先分析第二阶段厂商2的决策，为此，我们先假设厂商1的选择为q1,是已经确定的，这实际上就是在 q1确定下来求使u2实现最大 值的q2这样的必须满足：

　　6-2q2-q1=0即 q2=(1/2)(6-q1)=3- q1/2 (1)

　　实际上它就是厂商2对厂商1的策略的一个反应函数。厂商1知道厂商2的这种 决策思路，因此他在选择 q1的知道q2*将是根据(1)代入他自己得益函数， 然后再求最大值。即求使

　　寡占的斯塔克博格模型* u1 (q1 , q2 )

　　6q1

　　2 q1

　　* q1 q 2

　　6q1

　　2 q1

　　q1 q1 (3 ) 2

　　1 2 3q1 q1 u1 (q1 ) 2 *. * 得最大值的 q1 令q1 q1 时上式对 q1的导数为 0,可得：* 3 - q1 0

　　即

　　* q1 3

　　* 此时q2 3 1.5 1.5, 双方的得益分别为 4.5和2.25

　　寡占的斯塔克博格模型与两寡头同时选择的古诺模型的结果u1=u2=4相比，斯塔伯克模型的结果有很

　　大不同。它的产量大于古诺模型，价格低于古诺模型，总利润(两厂商得益

　　之和)小于古诺模型。但是，厂商1的得益却大于古诺模型中厂商1的得 益，更大于厂商2的得益。这当然是因为该模型中两厂商所处地位不同，

　　厂商1具有先动的主动，且他又把握住理性的厂商2总归会根据自己的选择q1而合理抉择的心理，选择较大的产量得到了好处。 本博弈也揭示了这一一个事实，即在信息不对称的博弈中，信息较多的博

　　弈方(如厂商2,他在决策之前可先知道厂商1的实际选择，因此知道较多的信息)不一定能得到较多的得益。

　　3.4.2 劳资博弈先由工会决定工资率，再由厂商决定雇用多少劳动力max (W , L) max [ R ( L) WL]L 0 L 0

　　max u[W , L* (W )]W 0

　　R

　　斜率为W R(L) WL

　　W

　　W*

　　L (W )厂商的反应函数

　　*

　　L

　　L* (W * )

　　L* (W )

　　u3 u2 u1 u0L

　　工会的误差异曲线

　　3.5.4 工资奖金制度模型假设：1.雇员i(i=1,2)的产出函数为 yii

　　e ,e 为雇员努力水平， 为随机扰动。i ii

　　i

　　服从分布密度 f ( ) ,均值为0的随机变量。 雇员努力的负效用函数为 g (e),且 g ' 0, g ' ' 0 。2.产量高的雇员得到高工资wh,产量低的得到低工资wl 。 3.两雇员在已知雇主宣布的工资奖金制度下，同时独立选择各自的努力程度。

　　雇员选择雇主决定了工资以后，雇员同时决定努力程度： i 0h i i j * j l i i j

　　max w P y (e ) y (e ) w P y (e ) y (e ) g (e ) max ( w w ) P y (e ) y (e ) w g (e ) * j i

　　i 0

　　h

　　l

　　i

　　i

　　j

　　* j

　　l

　　i

　　一阶条件

　　P y (e ) y (e ) (w w ) g ' (e ) e* j i i j h l i i

　　这是雇员所选择努力程度必须满足的基本条件。

　　利用条件概率的贝叶斯法则：

　　P y (e ) y (e ) P e e * j * j i i j i j i

　　P e e | f ( )d * j

　　1 F (e e ) f ( )d * j

　　j

　　i

　　j

　　i

　　j

　　j

　　j

　　j

　　j

　　i

　　j

　　j

　　代入得： wh wl f (e j j ei ) f ( j )d j g ' (ei ) 两雇员情况一样，对努力程度的选择也相同，即：e * e * 1 2 2 * 样就得到：*j

　　w w f ( )d g ' (e )h l

　　e ,这*

　　j

　　j

　　j

　　这就是两雇员之间的静态博弈纳什均衡。 2 若进一步假设 i ~ N (0, ) ,那么 f 2 ( j

　　j

　　)d j

　　1 2

　　雇主选择由于雇员之间博弈的均衡是对称均衡，因此双方赢得竞赛的机会都是 0.5,假设雇能得到其他工作机会提供的得益是 U a ,则保证雇员接受工作 的基本条件是： 1 1 *

　　w w g (e ) U 2 2h l

　　a

　　此即“参与约束”。 由于在雇员接受工作的前提下，雇主必然尽可能压低工资，因此约束 条件可取等号：1 1

　　w w g (e ) U 2 2 于是得到： wh wl 2g (e* ) 2U a , wl 2g (e* ) 2U a wh* h l a

　　设上述参与约束条件满足，雇主的利润函数为

　　y y w w 2e w w* 1 2 h l 1 2 h

　　l

　　雇主的期望利润为 2e w w*

　　max 2e w w * wh wl 0 h l*

　　h

　　l

　　,因此雇主有如下的最优化问题：

　　上述雇主决策可转化为促使雇员的努力程度满足：

　　max 2e 2U 2 g (e ) * e* 0 a

　　一阶条件为： 1 g ' (e ) 0 代入两雇员的最优努力水平决定公式得到：*

　　( w w ) f ( )d 12 h l

　　j

　　j

　　j

　　( w w ) 1 f ( )d 2 h l

　　j

　　j

　　j

　　3.6 动态博弈分析的问题和扩展讨论3.6.1 逆推归纳法的问题

　　3.6.2 颤抖手均衡和顺推归纳法3.6.3 蜈蚣博弈问题

　　3.6.1 逆推归纳法的问题

　　逆推归纳法只能分析明确设定的博弈问题，要求博弈的结构，包括次序、规则和得益情况等都非常清楚，并且各个博弈方了解博弈结构， 相互知道对方了解博弈结构。这些可能有脱实际的可能

　　逆推归纳法也不能分析比较复杂的动态博弈 在遇到两条路径利益相同的情况时逆推归纳法也会发生选择困难 对博弈方的理性要求太高，不仅要求所有博弈方都有高度的理性，不 允许犯任何错误，而且要求所有博弈方相互了解和信任对方的理性， 对理性有相同的理解，或进一步有“理性的共同知识”

　　1 L (2, 0) M (0, 2) S R 2 N

　　1T (1, 3)

　　(0, 1)

　　如果博弈方1没有选择L,博弈方2如何选择？ 应该怎样理解博弈方的错误，或者说博弈方相互之间怎样理解对方的错误？ 如果不能相信在前面阶段选择中犯错误的博弈方的理性，那么在后面阶段行 为的博弈方该如何判断和行为，以及怎样判断对方对自己的判断的判断呢？

　　3.6.2 颤抖手均衡和顺推归纳法

　　颤抖手均衡博弈方2 L R 6, 2 2, 0 6, 2 2, 0 1

　　L (2, 1) M(1, 2)

　　U D

　　10, 0 10, 1 9, 0 10, 1

　　R 2

　　N1 S (1, 1) U (0, 0) T 2

　　V(2, 3) 3) (3,

　　颤抖手均衡1 L

　　R2 N 1 (1, 2) S T

　　(2, 1)

　　M

　　2(1, 1) U (0, 0) V

　　(3, 3)

　　顺推归纳法D 1 R (2, 2) 博 弈 方 1 R Ds Dw 博弈方2 s w 2,2 2, 2

　　ss 2 w

　　w 3,10, 0

　　0,01,3

　　0,01,3

　　3,10

　　, 0

　　Van Damme 博弈

　　Van Damme 博弈策略形

　　3.6.3 蜈蚣博弈问题

　　该博弈是说明逆推归纳法和博弈分析困难的经典博弈R d 2 r D (0,3) (2,2) 1 R D 1 R d 2 r D 1 R d 2 (100,100) r

　　1 D (1,1)

　　(98,98) (97,100) (99,99) (98,101)