第16讲(竞赛选讲)因式分解之添项拆项,双十字相乘

　　第16讲 因式分解的方法—配方法和拆添项法 知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。

　　补充公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

　　A卷

　　一、填空题

　　1、分解因式：x3?9x?8?_______________.（拆项法）

　　2、分解因式：x4?x2?2ax?1?a2?_______________.（添项法）

　　3、分解因式：x5?x?1?____________________.（添项法）

　　4、（“希望杯”初二试题）分解因式：a4?2a3b?3a2b2?2ab3?b4?_____________.

　　5、（天津市竞赛试题）已知x2?y2?z2?2x?4y?6z?14?0，则x?y?z?____.

　　6、（“希望杯”初二竞赛试题）已知x?则x?y?____或 .（配方法）

　　二、选择题

　　7、（“五羊杯”竞赛试题）若x是自然数，设y?x4?2x3?2x2?2x?1，则（ ）

　　A、y一定是完全平方数 B、存在有限个x，使y是完全平方数

　　C、y一定不是完全平方数 D、存在无限个x，使y是完全平方数

　　2228、若a、b、c满足a2?b2?c2?9，则代数式?a?b???b?c???c?a?的最大值是（ ） a?ba?b，y?（a??b），且19x2?143xy?19y2?2005，a?ba?b

　　A、27 B、18 C、15 D、12

　　B卷

　　一、填空题

　　9、（全国联赛）已知1?b?c?2??a?b??c?a?，且a?0，则b?c?_________.（配方法） 4a

　　10、整数a、b满足6ab?9a?10b?303，则a?b?________.（拆项法）

　　11、正数a、b、c满足3?a2?b2?c2?ab?3b?2c?1，则a?_____，b?_____，c?_____. 1

　　二、选择题

　　12、（“五羊杯”竞赛试题）a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ）

　　A、若a2?b2?c2?ab?bc?ac，则 a?b?c

　　B、若a3?b3?c3?3abc，则 a?b?c

　　C、若a4?b4?c4?d4?2a2b2?c2d2，则 a?b?c?d

　　D、若a?b?c?d?4abcd，则 a?b?c?d ??4444

　　三、解答题

　　13、分解因式：

　　（1）x4?7x2?1

　　（3）x3?5x2?3x?9（拆项配方）

　　（5）4x3?31x?15（拆项配方法）

　　2）a2?b2?4a?2b?3（郑州市竞赛题）（拆项配方） （4）x3?2x2?5x?6（重庆市竞赛题）（拆项配方） （6）?c?a?2?4?b?c??a?b? 2 （

　　C卷

　　一、解答题

　　14、（ “希望杯”初二年级培训题）求最大正整数N，使得250?41015?16N是是一个完全平方数。

　　15、（全国数学联赛）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是?mn?9m?11n?145?元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数。

　　双十字相乘法

　　例、分解因式2x?7xy?22y?5x?35y?3

　　2222x2x2y-11y-31小结：用双十字相乘法对多项式ax?bxy?cy?dx?ey?f进行因式分解的步骤是：

　　(1)用十字相乘法分解ax?bxy?cy，得到一个十字相乘图(有两列)；

　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　　练习 分解因式：

　　3 22

　　(1)x2?3xy?10y2?x?9y?2；

　　(2)x2?y2?5x?3y?4；

　　(3)xy?y2?x?y?2；

　　(4)6x2?7xy?3y2?xz?7yz?2z2．

　　双十字相乘法答案：

　　例.(x?2y?3)(2x?11y?1)

　　(1)(x?2y?1)(x?5y?2)

　　(2)(x?y?1)(x?y?4)

　　(3)(y?1)(x?y?2)

　　(4)(2x?3y?z)(3x?y?2z)

　　4

　　参考答案

　　A组

　　1.答案：?x?1??x2?x?8?

　　解析：原式?x3?x?8x?8?x?x2?1??8?x?1??x?x?1??x?1??8?x?1???x?1??x2?x?8? 提示：本题的关键是将?9x拆为?x和?8x.

　　2. 答案：?x2?x?1?a??x2?x?a?1?

　　解析：原式?x4?2x2?1?x2?2ax?a2??x2?1?2??x?a?2??x2?x?1?a??x2?x?a?1? 提示：本题的关键是将通过添加x2，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。

　　3. 答案：?x2?x?1??x3?x2?1?

　　解析：原式?x5?x2?x2?x?1?x2?x3?1???x2?x?1??x2?x?1??x2?x?1???x2?x?1? ??x2?x?1??x3?x2?1?

　　提示：本题的关键是将通过添加x2，构造立方差公式，进而提取公因式分解。

　　4. 答案：?a2?b2?ab?2

　　解析：原式??a4?2a2b2?b4???2a3b?2ab3??a2b2??a2?b2?2?2ab?a?b???ab?2? ?a2?b2?ab?2

　　提示：本题的关键是将通过拆项3a2b2，构造完全平方公式。（拆项法）

　　5. 答案：2

　　解析：由题意得：x2?2x?1?y2?4y?4?z2?6z?9?0

　　??x?1?2??y?2?2??z?3?2?0

　　?x?1，y??2，z?3

　　?x?y?z?2

　　提示：本题的关键是将通过拆项14，构造完全平方公式。（配方法）

　　6. 答案：?10

　　解析：由xy?1?y?1

　　x

　　2

　　19x2?143xy?19y2?19x2?143?191?1?

　　x2?2005?x2?x2?98???x?x???2?98 故x?1

　　x??10

　　提示：本题的关键是将利用x、y的倒数关系代换，然后配方。

　　5

　　7. 答案：C

　　解析：y??x4?2x3?x2???x2?2x?1??x2?x2?2x?1???x2?2x?1???x2?1??x?1?2 提示：本题的关键是将2x2拆项，然后利用提取公因式法分解即可。（拆项法）

　　8. 答案：A

　　解析：原式?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ac?3?a2?b2?c2???a?b?c?2 由于?a?b?c?2?0，故原式的最大值为27.

　　提示：本题的关键是将利用a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac??a?b?c?2解决问题。（配方法）

　　9. 答案：2

　　解析：由已知变形得：4a2?b2?c2?4ab?2bc?4ac?0??2a?b?c?2?0?2a?b?c 故b?c

　　a?2

　　提示：本题的关键是展开整理配成完全平方式。

　　10. 答案：15

　　解析：由等式变形得：6ab?9a?10b?15?288??3a?5??2b?3??288?25?32 ?3a?5?25，2b?3?32

　　?a?9，b?6

　　故a?b?15

　　提示：本题的关键是将303拆项进行因式分解求解。

　　11. 答案：a?1，b?2，c?1

　　解析：把已知式变形得：3?a2?b2?c2?ab?3b?2c?1?0

　　22

　　????a?b?

　　2???3??b

　　?2?1?????c?1?2?0 22

　　又∵???a?b?

　　2???3??b

　　?2?1?????c?1?2?0 22

　　∴???a?b?

　　2???3??b

　　?2?1?????c?1?2?0 即a?b

　　2?0，b

　　2?1，c?1

　　故a?1，b?2，c?1

　　提示：本题的关键是将拆项配成。（拆项法）

　　12. 答案：C

　　解析：根据a2?b2?c2?ab?bc?ac??a?b?2??b?c?2??a?c?2?0?a?b?c

　　6 ；

　　a3?b3?c3?3abc??a?b?c?a2?b2?c2?ab?ac?bc?0?a2?b2?c2?ab?bc?ac?a?b?c；??

　　由a4?b4?c4?d4?4abcd?a2?b2????c22?d2?2?ab?cd??0 2?2

　　13.（1）解原式?x4?2x2?1?9x2

　　2?x2?1??3x? 2??

　　?x2?3x?1x2?3x?1 ????

　　提示：本题的关键是通过添项2x2构成完全平方式，进而利用平方差公式分解。（拆项法）

　　（2）. 解原式??a2?4a?4???b2?2b?1?

　　??a?2?2??b?1?2

　　??a?b?1??a?b?3?

　　（3）. 解原式??x3?x2???6x2?6x???9x?9?

　　?x2?x?1??6x?x?1??9?x?1?

　　??x?1??x?3?2

　　（4）解原式??x3?x2???x2?5x?6?

　　?x2?x?1???x?1??x?6?

　　??x2?x?6??x?1?

　　??x?1??x?3??x?2?

　　（5）解原式?4x3?x?30x?15

　　?x?2x?1??2x?1??15?2x?1?

　　??2x?1??2x2?x?15?

　　??2x?1??2x?5??x?3?

　　（6）解：令b?c?x，a?b?y，则c?a???x?y?

　　原式??x?y?2?4xy

　　??x?y?2

　　??2b?a?c?2

　　7

　　14.解：250?41015?16N

　　?250??22?1015??24?N

　　?250?1?2?21979?24N?50?

　　当4N?50?2?1979，即N?1002时，以上括号中的式子可成为完全平方式 若N?1002，则22?2N?25??1?2?21979?24N?50??22N?25?1?2 即1?2?21979?24N?50在两个相邻自然数的平方之间，这是不可能的。 因此，N的最大值为1002.

　　15. 解：mn?9m?11n?145??m?11??n?9??46 由已知?m?11?|?mn?9m?11n?145?，?n?9?|?mn?9m?11n?145?，m?11?n?9得：?m?11?|46，?n?9?|46

　　而46?1?46?2?23

　　得m?11?n?9?46或m?11?n?9?23

　　故每人捐款数为47元或25元。

　　8