自考线性代数第三章向量空间习题
上传者:潘曙光|上传时间:2015-04-15|密次下载
自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间
一、单项选择题
1.设A,B分别为m×n和m×k矩阵,向量组(I)是由A的列向量构成的向量组,向量组(Ⅱ)是由(A,B)的列向量构成的向量组,则必有( )
A.若(I)线性无关,则(Ⅱ)线性无关 B.若(I)线性无关,则(Ⅱ)线性相关
C.若(Ⅱ)线性无关,则(I)线性无关 D.若(Ⅱ)线性无关,则(I)线性相关
2.设 1, 2, 3, 4是一个4维向量组,若已知 4可以表为 1, 2, 3的线性组合,且表示法
惟一,则向量组 1, 2, 3, 4的秩为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.设向量组 1, 2, 3, 4线性相关,则向量组中( )
A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
4.设有向量组A: 1, 2, 3, 4,其中 1, 2, 3线性无关,则( )
A. 1, 3线性无关 B. 1, 2, 3, 4线性无关
C. 1, 2, 3, 4线性相关 D. 2, 3, 4线性相关
5.向量组 1, 2, , s(s 2)的秩不为零的充分必要条件是( )
A. 1, 2, , s中没有线性相关的部分组
C. 1, 2, , s全是非零向量 B. 1, 2, , s中至少有一个非零向量 D. 1, 2, , s全是零向量
6.设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=(α1,α2,α3,α4).如果|A|=2,则|-2A|=( )
A.-32 B.-4
C.4 D.32
7.设α1,α2,α3,α4 是三维实向量,则( )
A. α1,α2,α3,α4一定线性无关 B. α1一定可由α2,α3,α4线性表出
C. α1,α2,α3,α4一定线性相关 D. α1,α2,α3一定线性无关
8.向量组α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,1,1)的秩为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.下列命题中错误的是( ) ..
A.只含有一个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
10.已知向量组α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,β线性相关,则( )
A.α1必能由α2,α3,β线性表出
C.α3必能由α1,α2,β线性表出
B.α2必能由α1,α3,β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出
11.设α1,α2,α3,α4都是3维向量,则必有( )
A.α1,α2,α3,α4线性无关 B.α1,α2,α3,α4线性相关
C.α1可由α2,α3,α4线性表示 D.α1不可由α2,α3,α4线性表示
二、填空题
1.已知向量α=(3,5,7,9),β=(-1,5,2,0),如果α+ξ=β,则ξ=_________.
2.设向量组 1=(a,1,1), 2=(1,-2,1), 3=(1,1,-2)线性相关,则数a=________.
3.向量组 1 (1,1,0,2), 2 (1,0,1,0), 3 (0,1, 1,2)的秩为_____________。
4.已知向量组 1 (1,2,3)T, 2 (2,2,2)T, 3 (3,2,a)T线性相关,则数a ______.
5.设向量组 1 (1,0,0)T, 2 (0,1,0)T,且 1 1 2, 2 2,则向量组 1, 2的秩为______.
6.实数向量空间V={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0}的维数是_________.
TT7.设4维向量 (3,-1,0,2),β=(3,1,-1,4),若向量γ满足2 γ=3β,则γ=__________.
8.设α=(-1,2,2),则与α反方向的单位向量是_________________.
9.设A为5阶方阵,且r(A)=3,则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.
三、计算题
1.求向量组α1=(1,4,3,-2),α2=(2,5,4,-1),α3=(3,9,7,-3)的秩.
2.求向量组 1=(1,1,1,3)T, 2=(-1,-3,5,1)T, 3=(3,2,-1,4)T, 4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关
组,并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
3.设向量组为 1 (2,0, 1,3)
2 (3, 2,1, 1)
3 ( 5,6, 5,9) 4 (4, 4,3, 5)
求向量组的秩,并给出一个极大线性无关组。
4.设向量组 1 (1,4,1,0)T, 2 (2,1, 1, 3)T, 3 (1,0, 3, 1)T, 4 (0,2, 6,3)T,
求该向量组的秩及一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.
5.设向量α=(3,2),求(αTα)101.
6.设向量组α1=(1,2,3,6),α2=(1,-1,2,4),α3=(-1,1,-2,-8),α4=(1,2,3,2).
(1)求该向量组的一个极大线性无关组;
(2)将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.
7.设向量组 1 (2,1,3,1)T, 2 (1,2,0,1)T, 3 (-1,1,-3,0)T, 4 (1,1,1,1)T,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
8.求向量组α1=(1,2,-1,4),α2=(9,100,10,4),α3=(-2,-4,2,-8)的秩和一个极大无关组.
四、证明题
1.设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1,证明:向量
组β1,β2,β3线性无关.
2. 证明:若向量组 1, 2, n线性无关,而 1 1 n, 2 1 2, 3 2 3, , n n 1+ n,则向量组 1, 2, , n线性无关的充要条件是n为奇数。
3.设向量组 1, 2, 3线性无关,且 k1 1 k2 2 k3 3.证明:若k1≠0,则向量组
, 2, 3也线性无关.
4. 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,证明:α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1线性无关.
5. 若α1,α2,α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解,证明α2-αl,α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.
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