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自考线性代数第三章向量空间习题

上传者:潘曙光
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上传时间:2015-04-15
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自考线性代数第三章向量空间习题

第三章 向量空间

一、单项选择题

1.设A,B分别为m×n和m×k矩阵,向量组(I)是由A的列向量构成的向量组,向量组(Ⅱ)是由(A,B)的列向量构成的向量组,则必有( )

A.若(I)线性无关,则(Ⅱ)线性无关 B.若(I)线性无关,则(Ⅱ)线性相关

C.若(Ⅱ)线性无关,则(I)线性无关 D.若(Ⅱ)线性无关,则(I)线性相关

2.设 1, 2, 3, 4是一个4维向量组,若已知 4可以表为 1, 2, 3的线性组合,且表示法

惟一,则向量组 1, 2, 3, 4的秩为( )

A.1 B.2

C.3 D.4

3.设向量组 1, 2, 3, 4线性相关,则向量组中( )

A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

4.设有向量组A: 1, 2, 3, 4,其中 1, 2, 3线性无关,则( )

A. 1, 3线性无关 B. 1, 2, 3, 4线性无关

C. 1, 2, 3, 4线性相关 D. 2, 3, 4线性相关

5.向量组 1, 2, , s(s 2)的秩不为零的充分必要条件是( )

A. 1, 2, , s中没有线性相关的部分组

C. 1, 2, , s全是非零向量 B. 1, 2, , s中至少有一个非零向量 D. 1, 2, , s全是零向量

6.设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=(α1,α2,α3,α4).如果|A|=2,则|-2A|=( )

A.-32 B.-4

C.4 D.32

7.设α1,α2,α3,α4 是三维实向量,则( )

A. α1,α2,α3,α4一定线性无关 B. α1一定可由α2,α3,α4线性表出

C. α1,α2,α3,α4一定线性相关 D. α1,α2,α3一定线性无关

8.向量组α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,1,1)的秩为( )

A.1 B.2

C.3 D.4

9.下列命题中错误的是( ) ..

A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

10.已知向量组α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,β线性相关,则( )

A.α1必能由α2,α3,β线性表出

C.α3必能由α1,α2,β线性表出

B.α2必能由α1,α3,β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

11.设α1,α2,α3,α4都是3维向量,则必有( )

A.α1,α2,α3,α4线性无关 B.α1,α2,α3,α4线性相关

C.α1可由α2,α3,α4线性表示 D.α1不可由α2,α3,α4线性表示

二、填空题

1.已知向量α=(3,5,7,9),β=(-1,5,2,0),如果α+ξ=β,则ξ=_________.

2.设向量组 1=(a,1,1), 2=(1,-2,1), 3=(1,1,-2)线性相关,则数a=________.

3.向量组 1 (1,1,0,2), 2 (1,0,1,0), 3 (0,1, 1,2)的秩为_____________。

4.已知向量组 1 (1,2,3)T, 2 (2,2,2)T, 3 (3,2,a)T线性相关,则数a ______.

5.设向量组 1 (1,0,0)T, 2 (0,1,0)T,且 1 1 2, 2 2,则向量组 1, 2的秩为______.

6.实数向量空间V={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

TT7.设4维向量 (3,-1,0,2),β=(3,1,-1,4),若向量γ满足2 γ=3β,则γ=__________.

8.设α=(-1,2,2),则与α反方向的单位向量是_________________.

9.设A为5阶方阵,且r(A)=3,则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.

三、计算题

1.求向量组α1=(1,4,3,-2),α2=(2,5,4,-1),α3=(3,9,7,-3)的秩.

2.求向量组 1=(1,1,1,3)T, 2=(-1,-3,5,1)T, 3=(3,2,-1,4)T, 4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关

组,并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.

3.设向量组为 1 (2,0, 1,3)

2 (3, 2,1, 1)

3 ( 5,6, 5,9) 4 (4, 4,3, 5)

求向量组的秩,并给出一个极大线性无关组。

4.设向量组 1 (1,4,1,0)T, 2 (2,1, 1, 3)T, 3 (1,0, 3, 1)T, 4 (0,2, 6,3)T,

求该向量组的秩及一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.

5.设向量α=(3,2),求(αTα)101.

6.设向量组α1=(1,2,3,6),α2=(1,-1,2,4),α3=(-1,1,-2,-8),α4=(1,2,3,2).

(1)求该向量组的一个极大线性无关组;

(2)将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

7.设向量组 1 (2,1,3,1)T, 2 (1,2,0,1)T, 3 (-1,1,-3,0)T, 4 (1,1,1,1)T,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

8.求向量组α1=(1,2,-1,4),α2=(9,100,10,4),α3=(-2,-4,2,-8)的秩和一个极大无关组.

四、证明题

1.设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1,证明:向量

组β1,β2,β3线性无关.

2. 证明:若向量组 1, 2, n线性无关,而 1 1 n, 2 1 2, 3 2 3, , n n 1+ n,则向量组 1, 2, , n线性无关的充要条件是n为奇数。

3.设向量组 1, 2, 3线性无关,且 k1 1 k2 2 k3 3.证明:若k1≠0,则向量组

, 2, 3也线性无关.

4. 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,证明:α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1线性无关.

5. 若α1,α2,α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解,证明α2-αl,α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

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