自考线性代数第三章向量空间习题

第三章 向量空间

一、单项选择题

1．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（ ）

A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关

C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关 D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关

2．设 1, 2, 3, 4是一个4维向量组，若已知 4可以表为 1, 2, 3的线性组合，且表示法

惟一，则向量组 1, 2, 3, 4的秩为（ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

3．设向量组 1, 2, 3, 4线性相关，则向量组中（ ）

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

4.设有向量组A： 1， 2， 3， 4，其中 1， 2， 3线性无关，则（ ）

A. 1， 3线性无关 B. 1， 2， 3， 4线性无关

C. 1， 2， 3， 4线性相关 D. 2， 3， 4线性相关

5．向量组 1, 2, , s(s 2)的秩不为零的充分必要条件是（ ）

A． 1, 2, , s中没有线性相关的部分组

C． 1, 2, , s全是非零向量 B． 1, 2, , s中至少有一个非零向量 D． 1, 2, , s全是零向量

6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（ ）

A.-32 B.-4

C.4 D.32

7.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ）

A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出

C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关

8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ）

A.1 B.2

C.3 D.4

9.下列命题中错误的是（ ） ．．

A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ）

A.α1必能由α2,α3，β线性表出

C.α3必能由α1,α2，β线性表出

B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

11.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( )

A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关

C.α1可由α2，α3，α4线性表示 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

二、填空题

1．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________.

2.设向量组 1=（a,1,1）, 2=（1,-2,1）, 3=（1,1,-2）线性相关，则数a=________.

3.向量组 1 (1,1,0,2), 2 (1,0,1,0), 3 (0,1, 1,2)的秩为_____________。

4．已知向量组 1 (1,2,3)T, 2 (2,2,2)T, 3 (3,2,a)T线性相关，则数a ______.

5．设向量组 1 (1,0,0)T, 2 (0,1,0)T，且 1 1 2, 2 2，则向量组 1, 2的秩为______.

6.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

TT7.设4维向量 （3,-1,0,2）,β=（3,1,-1,4），若向量γ满足2 γ=3β，则γ=__________.

8.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

9.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.

三、计算题

1．求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩.

2.求向量组 1=(1,1,1,3)T， 2=(-1,-3,5,1)T， 3=(3,2,-1,4)T， 4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关

组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.

3.设向量组为 1 (2,0, 1,3)

2 (3, 2,1, 1)

3 ( 5,6, 5,9) 4 (4, 4,3, 5)

求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。

4．设向量组 1 (1,4,1,0)T, 2 (2,1, 1, 3)T, 3 (1,0, 3, 1)T, 4 (0,2, 6,3)T，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．

5.设向量α=（3，2），求（αTα）101.

6.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.

（1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

7.设向量组 1 (2,1,3,1)T, 2 (1,2,0,1)T, 3 (-1,1,-3,0)T, 4 (1,1,1,1)T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

8.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

四、证明题

1．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量

组β1，β2，β3线性无关.

2. 证明：若向量组 1, 2, n线性无关,而 1 1 n, 2 1 2, 3 2 3, , n n 1+ n，则向量组 1, 2, , n线性无关的充要条件是n为奇数。

3．设向量组 1, 2, 3线性无关，且 k1 1 k2 2 k3 3．证明：若k1≠0，则向量组

, 2, 3也线性无关．

4. 已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

5. 若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.