概率论知识的应用实例

概率论知识的应用实例

摘要：概率论是研究随机现象统计规律的科学，它不仅在科研、生产及经济管理中发挥着重要作用，也常常出现在我们的日常生活中。本文讨论了数学期望、小概率事件、全概率公式、相关系数等在日常生活中的应用实例，从中可以看出概率论在解决问题中的实用性。 关键词：概率论 二项分布 正态近似 条件概率 期望 方差 风险 泊松分布

1.二项分布和正态近似的应用

成为朋友的初期，双力往往会放大对方的优点，忽视对方的缺点，相处十分愉快。然而随着时间的推移，难免会产生矛盾。因此，如何衡量朋友相处的质量就成为一个重要的问题。 这里可以引入朋友相处变量，该变量只能取“快乐”或“不快乐”，用“快乐”出现的次数来衡量朋友之间相处的快乐程度。根据以上假设，出现“快乐”的次数X服从二项分布，即X~B(n,p)，式中n为相处的总天数，p为一次相处快乐的概率。根据伯努利大数定理，可根据出现“快乐”的频率估计p，记录的天数越多，这个频率就越接近真实概率。 根据中心极限定理，满足0.1﹤p﹤0.9且npq﹥9条件时，二项分布可采用正态近似，即X~N(np,npq)，n越大近似越好，可通过查正态分布函数值表方便地求出X位于某一区间的概率。P(a<X≤b)≈Φ(b np

npq)-Φ(a np

npq)

在求概率P(X≤m)（m为正整数）时，为得到较好的近似值，可用以下近似公式： P(X≤m)=P(X≤m+1m 1/2 np)≈Φ() 2npq

实例：一对朋友1天相处快乐的概率是80%，则100天中快乐天数的期望EX=np=80，方差DX=npq=16，X近似服从正态分布N(80,16)。可以得到

P(X>90)=1-P(X≤90) ≈1-Φ(90 0.5-80

)=1-Φ(2.63)=1-0.9957=0.0043

也就是说，100天内相处快乐的天数多于90天的概率仅为0.0043，是几乎不可能出现的小概率事件。这个例子说明再好的朋友也不可能每天相处都快乐，朋友之间出现矛盾很正常，不能因为一次小的争执就否定一切，那是违背科学规律的。

我们都希望自己的运气能好一些，面对考试尤其如此。考生中抱有侥幸心理、希望凭好运过关的有很多。那么，对于一场考试仅凭运气能通过吗？答案显然是否定的。

以大学英语四级考试为例，试卷共有62道单项选择题，占了分值的大部分，每道题四个选项。如果不考虑写作、翻译、听力填空等非选择题，设正确率60%为及格，则62道题至少要答对38道，可以视为62重伯努利试验，答对题数X~B(62,0.25)，np=62×0.25=15.5，npq 0.25 0.75=3.41，由正态近似

P(X≥38)=1-P(X<37) ≈1-Φ(37-15.5)=1-Φ(6.30) 3.41

Φ(6)=0.999 999 999，故此概率值小于10-9，相当于10亿考生参加考试，通过人数都不到1人，这还没有考虑非选择题。可见仅凭运气通过考试是不可能的。

2.推断与决策

决策是为解决当前或未来可能发生的问题，在若干可供选择的方案中选择一个最佳方案

的过程。概率论知识在选择最优策略、获得最大收益、尽量减少损失等方面起到重要作用，是进行科学推断与决策的有效工具。

实例：朋友从外地而来，乘船的概率为0.4，乘船迟到的概率为0.25；乘汽车的概率为0.4，乘汽车迟到的可能性0.3；乘火车的概率为0.2，乘火车迟到的概率为0.05。现在此人已经迟到，问是否需要到火车站去接他？

设事件A1,A2,A3分别为“乘船”，“乘汽车”，“乘火车”，事件B=“迟到”，现在已经知道事件B发生，只要求出条件概率P(A3｜B)，就可以判断是否需要去火车站接他。

P(A1)=0.4 P(A2)=0.4 P(A3)=0.2 P(B｜A1)=0.25 P(B︳A2)=0.3 P(B︳A3)=0.05 由贝叶斯公式P(B︳A2)

P(A3B)P(A3)A3)0.2 0.05P(A3｜B)==3==0.043 0.4 0.25 0.4 0.3 0.2 0.05P(B) P(Ai)Ai)

i 1

这是一个小概率事件，在一次试验中发生的可能性很小，因此不必去火车站接。

实例：某公司经销某种原材料，根据以往资料，这种原材料的市场需求量X（单位：吨）服从(300, 500)上的均匀分布，每出售1吨原材料，公司可获得利润1.5万元；每积压1吨，公司损失0.5万元，问该公司应该买进多少货源，可使利润的期望最大?

解：设公司买进货源t吨 (300≤t≤500)，利润为Y万元，则利润为需求量的函数，即Y=g(X)，由题设条件知

11.5t,X t，300 x 500 Y=g(X)= 概率密度f(x)= 200 2X 0.5t,X t 0，其他

∴E(Y)=

=500300g(X)f(x)dx=t5001( (2X 0.5t)dx+ 1.5tdx) t2003001(-t2+900t-3002) 200

E(Y)是t的二次函数，求得t=450吨时，期望的利润达到最大。

以上是概率论在决策中的简单应用，但是在实际生活中作中影响决策的因素很多，往往包括一些不可知或不可控因素，概率论的实际应用要复杂得多。

3.金融风险

风险是指在一定时期以内，由于各种原因导致的事物变化引起潜在损失的可能。有风险就会有潜在的损失，这些潜在的损失是一个随机变量。损失分布是对损失的量化分析。例如保险公司在一定时间内的单次索赔额、索赔次数和总索赔额都是随机变量，可应用概率论知识进行定量分析。

概率论认为，损失大的风险发生的概率小，损失小的风险发生的概率大，掌握的金融信息越多，风险和损失分布就越容易确定。风险的发生与不发生、风险投资的单次损失量及损失次数都有一个概率性问题，只要正确的认识了他们之间的关系，就能对风险进行有效的规避，减少小必要的损失，获得足够的经济收益。保险、股票等风险投资，都带有一定的随机性，运用数学期望来预计收益或规避风险是比较客观的。

实例：例设某保险公司里有5000个同一年龄的人参加了同一项人寿保险，每个人在一年里死亡的概率为0.001，若每人一年支付120元保险费，死亡后家属可以从保险公司领取40000元，求保险公司在此项保险中盈利的概率。

设X表示参保的5000人中一年内死亡的人数， X可能的取值有0，1，…，5000，

X~B(5000,0.001)，设A=“保险公司盈利”，则A=﹛5000×120-40000X>0﹜=﹛X<15﹜，p≤0.1且n≥10，可采用泊松近似，X近似服从P(5)，由泊松分布累计概率表查得

P(A)=1-P﹛X≥15﹜≈1-0.000 23=0.999 77

以上结果表明，由于投保人数多而发生死亡的概率很低，保险公司亏损几乎是不可能的。保险公司可根据某项保险赔付的频率来制订投保及赔付政策，进而获得更大的利润。而保险公司不愿为高危人群提供保险（如参与极限运动和高空作业），就是因为高危行业赔付率比较高，难以盈利。即使接受投保，条件也很苛刻。