微分方程习题

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微分方程习题

1．求通解 yy (y )2 y2lny。

2．解方程：x2y 3xy 5y x2lnx

3．设F(x) f(x)g(x)，其中f(x),g(x)在( , )内满足以下条件：f (x) g(x)， g (x) f(x)，且f(0) 0，f(x) g(x) 2ex。

(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；

(2) 求出F(x) 的表达式

sinx0 x y 4y f(x)2。 4．求解初值问题，其中 f(x) y(0) 0,y (0) 0 1 x 2

y y x,x 5．求方程满足条件y y 4y 0,x x 0 0，y x 0 0并在x

x 处连续且可微的解。 21

0 x6．设f(x)具有连续的二阶导数，且满足f(0) 1，且f (x) 3 f (t)dt 2x f(xt)dt e 0， 0

求f(x)。

G(x)是7.若F(x)是f(x)的一个原函数，1的一个原函数，且F(x)G(x) 1，f(0) 1，求f(x) f(x)

8.若非负函数f(x)在[0, )可导，且它在[0,x]上的积分平均值等于它在该区间端点处的几何平均值，求f(x)。

9．设有初值问题 y ay f(x) ,其中f(x)是连续函数，a是常数， y|x 0 0

（1）求解；

（2）若f(x) K（K是常数），证明：当x 0时，有y K(1 e ax)。 a

ab10.设y f(x)在( , )可导，且对任意实数a,b，恒有f(a b) ef(b) ef(a)，又已知

f (0) e，求f(x)与f (x)。

11．设函数y y(x)在( , )内具有连续二阶导数，且y 0,x x(y)是y y(x)的反函数。

d2xdx3（1）将x x(y)所满足的微分方程 (y sinx)() 0变换为y y(x)所满足的微分方程； 2dydy

（2）求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0，y (0) 3的解。 2

1xf(t)dt，求 0x12．设对任意x 0，曲线y f(x) 上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于

y f(x)的一般表达式。

13．设f(x)是正值连续函数，f(0) 1,且对任一x 0，曲线y f(x)在区间 0,x 上的一段弧等于

此弧段下曲边梯形的面积，求此曲线的方程。

14．设曲线L的极坐标方程为r r( )，M(r, )为L上任一点。M0(2,0)为L上一定点。若极径

求曲线的方程。 OM0,OM与曲线L所围的曲边扇形的面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半，

15. 设曲线上任一点P(x,y)处的法线与x轴交于A点,且P点的曲率半径是线段PA长度的两倍。已知

曲线是上半平面上的凹曲线，它过点（0，1），且在该点有水平切线，求该曲线的方程。

16. 质量等于m的物体以初速度v0下落，假设空气阻力：（1）与速度成正比；（2）与速度平方成正比。

试求物体运动所满足的微分方程。

17．设河边点O的正对岸为点A，河宽 OA = h ，两岸为平行直线，水流速度大小为 a ，鸭子从点 A

游向点O ，设鸭子(在静水中)的游速大小为b(b a)且鸭子游动方向始终朝着点O ，求鸭子游动的轨迹方程。

18．已知一质量为 m 的质点作直线运动，作用在质点上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 (比

例系数为 k)，初始位移为s0，初始速度为v0，求质点的运动规律s s(t)。

19．设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲

线 ?

20．某飞机在机场降落时，为减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使

飞机迅速减速并停下来。现有一质量为m=9000kg的飞机，着陆时的水平速度为v0=700km/h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k 6.0 10）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？kg表示千克，km/h表示千米/小时。

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