微分方程习题
微分方程习题
1.求通解 yy (y )2 y2lny。
2.解方程:x2y 3xy 5y x2lnx
3.设F(x) f(x)g(x), 其中f(x),g(x)在( , )内满足以下条件:f (x) g(x), g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex。
(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式
sinx0 x y 4y f(x)2。 4.求解初值问题 ,其中 f(x) y(0) 0,y (0) 0 1 x 2
y y x,x 5.求方程 满足条件y y 4y 0,x x 0 0,y x 0 0并在x
x 处连续且可微的解。 21
0 x6.设f(x)具有连续的二阶导数,且满足f(0) 1,且f (x) 3 f (t)dt 2x f(xt)dt e 0, 0
求f(x)。
G(x)是7.若F(x)是f(x)的一个原函数,1的一个原函数,且F(x)G(x) 1,f(0) 1,求f(x) f(x)
8.若非负函数f(x)在[0, )可导,且它在[0,x]上的积分平均值等于它在该区间端点处的几何平均值,求f(x)。
9.设有初值问题 y ay f(x) ,其中f(x)是连续函数,a是常数, y|x 0 0
(1)求解;
(2)若f(x) K(K是常数),证明:当x 0时,有y K(1 e ax)。 a
ab10.设y f(x)在( , )可导,且对任意实数a,b,恒有f(a b) ef(b) ef(a),又已知
f (0) e,求f(x)与f (x)。
11.设函数y y(x)在( , )内具有连续二阶导数,且y 0,x x(y)是y y(x)的反函数。
d2xdx3(1)将x x(y)所满足的微分方程 (y sinx)() 0变换为y y(x)所满足的微分方程; 2dydy
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0,y (0) 3的解。 2
1xf(t)dt,求 0x12. 设对任意x 0,曲线y f(x) 上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
y f(x)的一般表达式。
13.设f(x)是正值连续函数,f(0) 1,且对任一x 0,曲线y f(x)在区间 0,x 上的一段弧等于
此弧段下曲边梯形的面积,求此曲线的方程。
14.设曲线L的极坐标方程为r r( ),M(r, )为L上任一点。M0(2,0)为L上一定点。若极径
求曲线的方程。 OM0,OM与曲线L所围的曲边扇形的面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,
15. 设曲线上任一点P(x,y)处的法线与x轴交于A点,且P点的曲率半径是线段PA长度的两倍。已知
曲线是上半平面上的凹曲线,它过点(0,1),且在该点有水平切线,求该曲线的方程。
16. 质量等于m的物体以初速度v0下落,假设空气阻力:(1)与速度成正比;(2)与速度平方成正比。
试求物体运动所满足的微分方程。
17.设河边点O的正对岸为点A,河宽 OA = h ,两岸为平行直线,水流速度大小为 a ,鸭子从点 A
游向点O ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b(b a)且鸭子游动方向始终朝着点O ,求鸭子游动的轨迹方程。
18.已知一质量为 m 的质点作直线运动,作用在质点上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 (比
例系数为 k), 初始位移为s0,初始速度为v0,求质点的运动规律s s(t)。
19.设有一均匀、柔软的绳索,两端固定,绳索仅受重力作用而下垂,问该绳索的平衡状态是怎样的曲
线 ?
20.某飞机在机场降落时,为减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使
飞机迅速减速并停下来。现有一质量为m=9000kg的飞机,着陆时的水平速度为v0=700km/h。经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 10)。问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?kg表示千克,km/h表示千米/小时。
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