线性代数基础讲义

线性代数

2015考研数学线性代数基础讲义

第一章 行列式

一．基本内容

1．排列与逆序

定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 i1 , i 2 , in 称为一个 n 级排列。

定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。

in 中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数， 对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列 i1 , i 2 ,

记作 i1 , i2 , in 。

2. 行列式的定义

2 n 个数 a ij（ i , j 1,2, , n ）排成的行列的方形表

a11a12 a1n aa22 a2n D 21 ( 1) (j1,j2, ,jn)a1j1a2j2 anjn j1,j2, ,jn an1an2ann

称为一个n阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。

3.行列式的性质

（1）转置不改变行列式的值

（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外

（3）行列式的分行（列）可加性

（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0

（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号

（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变

4.行列式的余子式、代数余子式

划去元素a ij 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 a ij 的余子式，记

i j为 M ij ，称 A ij ( 1) M ij 为 a ij 的代数余子式。

5.行列式的展开

（1）展开定理

D aA aA aA aA aA aAi1i1i2i2inin1j1j2j2jnjnj

j 1,2,,n i 1,2,,n（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。

ak1Ai1 ak2Ai2 aknAin 0k i

aA aA aA 0k i1k1i2k2inkni

二.基本结论

（1）

a11a11**a11 a22a22*a22 *

annann**ann

（2）

a1na1n**a1n a2(n 1)a2(n 1)*a2(n 1) * an1an1**an1

线性代数

三. 基本题型与基本方法

题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开

具体方法：

方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）

例

a011 4124

1a11202D n 1 D 3320 1

an0112

方法二：降阶法（利用展开降阶）

例

a1 xa2a3a4 xx00 D4 0 xx0 00 xx

第二章 矩阵

第一节 矩阵及其运算

一. 基本内容

1．矩阵概念

1）定义

a11a12 a1n aa a21222n A aijm n aaam2mn m1

2）特殊矩阵：

（1）零矩阵：

（2）阶方阵：

（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：

（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：

（5）对称矩阵、反对称矩阵：

2．矩阵的运算

1）线性运算：加法与数乘

2）乘法：

（1）乘法法则：

（2）运算律：

3）方阵的运算

（1）方阵的幂及其运算律：

（2）方阵的行列式

4）转置：

性质

5）伴随矩阵

性质：

二、基本结论

1．伴随矩阵的相关结论

2．分块矩阵的逆

线性代数

第二节 可逆矩阵

一、基本内容

1．可逆的定义：

2．阶矩阵可逆的充要条件：

3．性质：

二、基本题型与基本方法

题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）

方法一：公式法求逆

方法二：初等变换求逆：方法：

例

223 A 1 10 121

方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）

例：n阶矩阵满足 A2 A 4E 0

求 (A E) 1

第三节 矩阵的初等变换与秩

一、基本内容

1．初等变换的定义：

2．初等矩阵

（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

（2）三种初等矩阵：

（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵

3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）

4．矩阵等价

1）定义：

2）性质：

5．矩阵的秩

（1）定义：

（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩

二、基本题型与基本方法

题型：求矩阵的秩

基本方法：初等变换法

对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。

例 求矩阵的秩

1111 01 1b A 23a4 3517

第三章 向量

第一节 向量组线性相关性

一、基本内容

1．向量及其运算

（1）定义：

（2）运算：

2．线性表示、线性组合

线性代数

定义：

3．向量间的关系的描述（线性相关、线性无关）

定义：若存在一组不全为0的数 x 1, x 2 , , x n ，使得 x 1 x 2 2 xn n 则称向量组 1 0

1, 2,, n线性相关，否则称为线性无关。

2）结论

（1） 线性相关（无关）

（2）含有零向量的向量组一定线性相关

（3）向量组的一个部分组线性相关，则向量组一定线性相关

向量组本身线性无关，则其任何一个部分组线性无关

（4）m个n维向量构成的向量组， m n 时向量组一定线性相关

1 , 线性相关，则 （5） 2 , , n线性无关， 1 , 2 , , n 可由 1 , 2 , , n 线性表示。

二、基本题型与基本方法

题型1：向量组线性表示的判定

例

题型2：向量组线性相关性的判定

TTT例 判定向量组 1 (2,3,0) 2 ( 1 ,4,0) 3 (0,0,2) 的线性相关性 。

第二节 向量组的秩

一、基本内容

1．极大线性无关组与秩

定义：

2．向量组之间关系的描述（向量组等价）

二、基本题型与基本方法

题型：求向量组的极大无关组与秩

方法：定义法、初等变换法（以向量组中各向量为列作矩阵，对矩阵作

初等行变换，化为阶梯形）

例：设向量组 (1, 2,3, 1)T (3, 1,5, 3)T (5,0,7, 5)T (2,1,2, 2)T

2314

求（1）向量组的秩及一个极大无关组

（2）把其余向量用该极大无关组表示出来

第四章 线性方程组

第一节 齐次线性方程组

一、基本内容

1．齐次线性方程组的定义：

ax ax ax 01111221nn ax am2x2 amnxn

0 m11

2．方程组的解：

1）解的形式：零解、非零解

2）解的线性性质：

（1）

（2）

3．解的判定： Am nx 0

仅有零解

有非零解

4．解的结构：

1）基础解系的定义：

2）基础解系特点及求法：

线性代数

r( 对于方程组 n x 0 ，若 A ) r n，则其一定有基础解系，且基础解系中一定含有 Amn r个向量，故 A 的通解为 x k1 1 k2 2 kn r n rm nx 0

二、基本题型与基本方法

题型：求的基础解系与通解

方法：具体的，利用初等变换法解方程组

抽象的，利用解的性质及结构

例 求

x1 x2 x3 x4 0 x x2 x3 3x4 0 1 x x 2x 3x 01 2 3 4

的基础解系与通解

第二节 非齐次线性方程组

1．非齐次线性方程组的定义：

2．方程组的解：

1）解的形式：无解、仅有一个解、无穷多个解

2）解的线性性质：

（1）

（2）

3．解的判定：

4．解的结构

二、基本题型与基本方法

题型：求解 Ax b

求解方法：

具体的，利用初等变换法解方程组

抽象的，利用解的性质及结构

例

x1 x2 2x3 2x4 1

2x x 4x x 5 1234 x1 2x2 2x3 x4 4

第一节 方阵的特征值与特征向量

一、基本内容

1．内积（向量之间的一种运算）

定义：

2．正交组的概念：

（1）向量正交的定义：

（2）正交组、正交组与线性无关组的关系：

3．Schmidt正交化方法：

4．特征值与特征向量

1）定义

2）求法

3）特征值与特征向量性质：

1 2 n A（1） 1 2 n a11 a22 ann tr(A)

2）关于特征向量的线性无关性： 属于不同特征值的特征向量一定线性无关 具体表现为：

二、基本结论

A (a ) ， 是其特征值， ijn n若 f ( A ) a A m a a E ，则 f ( A ) 一定有特征值 f( )Am10