线性代数习题答案第一章

线性代数习题答案第一章

第一章 习题A

1. 1. 设有三阶行列式D,其中第3列元素依次为1,3,-2,它们对应的余子式依次为3,-2,1, 求D

解:由Dn a1jA1j a2jA2j ... anjAnj(j 1,2,...,n)有: D a13A13 a23A23 a33A33 1 3 3 ( 2) ( 2) 1 7

a1 kb1

b1 c1c1a1b1c12. 证明 a2 kb2

b2 c2c2 a2

b2c2

a3 kb3b3 c3c3a3b3

c3

a1 kb1

b1 c1c1

a1

b1 c1c1

kb1

b1 c1c1证明: a2 kb2

b2 c2c2 a2

b2 c2c2 kb2

b2 c2c2 a3 kb3

b3 c3

c3a3b3 c3

c3kb3

b3 c3

c3

a1b1c1a1c1c1kb1b1 a2

b2c2 a2c2c2 kb2b2a3

b3c3a3c3

c3kb3b3

a1

b1c1 a2

b2c2 a3

b3

c3

3. 利用性质计算下列三阶行列式:

2

01

1 a12 a13 a1 (1) 1

4 1; (2) a2

2 a23 a2 1831 a32 a3

3 a3

ab

acae

x 1 1

(3) ad

cd

de; (4) 1x 1;

bfcd ef0 1x 1

2

1解:(1)

1 4 1 2 4 1 1 1 4

2 ( 4) 1 4 183

83 18

4c1kb1c2 kb2c3kb3

c1c1c2c2c3

c3

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1 a1

2 a13 a12 a13 a1a12 a13 a1 (2) a2

2 a23 a2 2 a23 a2 a22 a23 a2 a3

2 a3

3 a32 a33 a3a3

2 a3

3 a3

23 a1a13 a1a123 a1a1 23 a2 a23 a2 a223 a2 a223 a3a33 a3a323 a3a3

a13 a1a1

23 a1 a23 a2 a223 a2 a3

3 a3a323 a3

a1

3

a1

a1a1

23

a12a1 a2

3 a2a2 a223 a22a2 a3

3a3a3a323a3

2a3

0

ab

acae aaa aaa (3) bd

cdde=bced dd bced

dd bf

cf

efff fff f 1

1

1

2

=abcdef1

11 abcdef0 22 1

1 111 1

abcdef ( 2)

02

1 1

4abcdef

x 1 1

(4) 1

x 1=(x 1)x 1 ( 10

1x 1

1x 1 1)( 1)3

1x 1

=(x 1)(x2

x 1) (x 1) (x 1)(x2

x 2) =(x 2)(x2

1)

4. 计算下列四阶行列式:

a13 a1a23 a2a3

3 a3

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01 (1)

1201解:(1)

12 1 121 1 121 10 11 10 11221

422

; (2)

2011020

120

20 1 12

1

21 102= 1 ( 1)31001 12

3

0031 4

0 2

4

111 1

.

99981 2

12 12 1 4

= 1

24

12 ( 1)( 1)3 4

4 10

04 10

2111211421 1632

(2)

201102 999854 197121 2543

63

= 5

1

632

1 ( 1)554 197 0

543

63

4 197 200 1800

54

00200

2

5. 计算下列n阶行列式:

a0

(1) Dn

0a000a00

00a000

a0

10

; (2) Dn

xaa

a0

=

a

n 2

axa

0010

10

aax

.

01a0

解:(1) Dn

0a100a

100

01010a

1...

an 2(a

00

a

n 2

............0...1000...1 1 ( 1)n 10...a0...

0......0......110) ...0

(a2 ( 1)n 1 1 ( 1)n) an 2(a2 1)

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11

(2) Dn (x (n 1)a)

...

aax1

10

(x (n 1)a)

...0

xa

ax

aa

6. 判定齐次线性方程组

a...x.........a...ax a...0aa ...x...a...0

.........x a

(x (n 1)a)(x a)n 1

x1 3x2 2x3 0,

2x1 x2 3x3 0,

3x 2x x 0

23 1

有无非零解.

解:齐次线性方程组的系数行列式为:

1

A 2

32132132

13 0 7 1 0 7 1 42 0

32 10 7 700 6

而齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式不等于零 . 则该齐次线性方程组没有非零解.

7. 设齐次线性方程组

3x1 kx2 x3 0,

4x2 x3 0,

kx 5x x 0

23 1

有非零解,求常数k. 解:有非零解的充要条件是

41 14kD 041 3 k ( 1) (k 3)(k 1) 0

5 141

k 5 1

故k 1或k 3时,有非零解.

3k 1

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习题B 1. 填空题：

a11

(1)设a21

a12a22a32

a13 2a11 2a12 2a32 2a22a11

a12a32a22

2a13

2a33 2a23

a13

a11

a12a22a32

a13

a23 8 2 16 a33

a31 2a11

解: 2a31

a23 2,则 2a31a33 2a21

2a13

2a12 2a32 2a22

a1

2a21

2a33 ( 2)3a31 2a23a21

1

1

a33 ( 8)( 1)a21

a23a31

(2) 三阶行列式

1

11

1 a21 11 a31

a10

1

1

1

a1

解：

11

1 a21 11 a3

a a31

a2 a3 (1 a1)2 1 ( 1)3

11 a3a2

11 a3

1 a3

(1 a1)(a2 a2a3 a3) ( a3 a2) a1a2a3 a1a2 a2a3 a3a1

1 a

(3). 四阶行列式

00

123 aa0解:

0 aa00 a

4

0a1234

334

03a3a4a

a3 110

0 aa0

0 11

00 aa

10343

a(3 ( 1)( 1)3) 10a3

11 11

(4). 已知

2

a a040 0a

30a a

n阶行列式D, 其中元素aij的代数余子式为Aij, 则

aniAnj a1iA1j a2iA2j

解:由ai1Aj1 ai2aj2 ... ainAjn D ij

D,i j

得

0,i j