数学分析论文

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目录

摘要 Ⅰ

第一章 绪论 1

1.1研究背景 1

1.2研究现状及本文研究内容 1

第二章 中学极限与数分相关内容的比较 2

2.1 中学数列极限与数分数列极限 2

2.2中学函数极限与数分函数极限 2

第三章 中学导数与数分相关内容的比较 4

3.1中学导数与数分导数在定义、几何意义上的比较 4

3.2.1几个常用函数的导数 4

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 5

3.3中学导数与数分导数在研究函数中应用上的比较 6

3.3.1函数的单调性与导数 6

3.3.2函数的极值与导数 6

3.3.3函数的最大（小）值与导数 8

总结 9 参考文献 9 致谢 10

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中学的极限、导数知识与数分相关内容的比较

摘要：极限、导数知识是数学中的重要概念，在数学中，如果某个变化的量无限的逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变量的极限。而导数是联系高等数学与初等数学的纽带，。本文对极限知识中的数列极限从其定义以及性质方面做了比较，知道了在中学阶段和数分中对于其定义有所不同，数分中引入了新的元素，增加了想象思维。对函数极限将分别从定义、四则运算以及连续性方面进行比较；发现在数分中较中学阶段更加地深入的描述了函数极限，同时也用到领域的概念，而对导数将从定义、计算以及在函数方面的应用中的单调性、极值以及最值方面系统地阐述中学阶段与数分中有关知识方面的异同，知道了数分中对中学阶段的相关知识有所加深也有所补充。

关键词：无限的逼近，单调性，极值、最值

第一章 绪论

1.1引言

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。而数学分析中的极限思想与我们高中所学到的极

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限知识有什么异同呢？找到其中的异同能让我们更快更好地接受和研究极限思想；也为以后从事的教学工作有一定的帮助。

导数在现行的中学数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的扭带，是中学数学知识 的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。导数知识的学习有利于学生更好地理解函数的性态、更好地掌握函数思想以及发展学生的思维能力。做中学导数知识与数学分析中相关内容的比较，有利于更好地把握二个阶段的联系，从而更加深刻地掌握导数知识，为进一步研究其它方面做好铺垫。

1.2研究现状以及本文研究内容

在此以前有学者对极限做了“高中极限与当前极限知识的联系”；对导数做了“导数与中学数学的联系与应用”的研究.但对中学极限、导数与数学分析中有关知识点的比较还未有研究。本文将对极限内容中的数列极限从定义以及四则运算两方面进行比对，对函数极限将分别从定义、四则运算以及连续性方面进行比较；而对导数将从定义、计算以及在函数方面的应用系统地阐述中学数学与大学数学中有关知识方面的异同。

第二章 中学极限与数分相关内容比较

极限的思想可以追朔到古代，战国时代哲学家庄周在所著《庄子 天下篇》中写到：“一尺之锤，日取其半，万世不截。”这个故事中，庄子所揭示的切棒理论：一尺

长的木棒，每天取其中一半，永远也取不完。其切棒的极限是“0”，越切越短，

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越切越少，但是“万世不竭”—永远不为零，而又无限接近。三国时代数学家刘徽

为计算圆周长而使用的割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”体现了我国古代哲学家和数学家的极限思想与方法，

表现了我国劳动人民的聪明和智慧。利用这些极限思想解题不仅可以化难为易，形

象直观，而且可以通过这种思想的运用又能加深对极限概念的认识和理解。

2.1中学数列极限与数分数列极限

中学数列极限

定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{ an }的项an无限地趋近于

某个常数a(即| an -a|无限地接近于0)，那么就说数列{ an }以a为极限记作

数分数列极限

定义：设有数列｛an｝,a是有限常数。若对任意 >0,总存在正整数N,对任意正整

数n>N,有|an-a|< ,

则称数列｛an｝的极限是a（或a是数列｛an｝的极限）或数列｛an｝收敛于a（|an|是收敛数列），表为

或an →a(n→∞).

若数列{ an }不存在极限，则称数列{ an }发散.

我们可以看出在中学对于数列极限的定义是从数列的项数定义的，当项数n趋近于无穷时an趋近于一个常数，就说数列{ an }是以a为极限；而数分中对于数列极限的定义中引入的任意正数数数列极限由定性描述转入定量定义的关键。一方面，正数具有绝对的任意性。另一方面，正数又具有相对的固定性，从而不等式|

限趋近于 an - a |<表明数列{ an }无a的渐进过程的不同阶段，进而可估算an与a的接近程度。显然，的绝对任

aaN）的存在性，与N的大小无关。 从而中学与意性是通过无限多个相对固定性的表现出来的。的这种两重性使数列极限的-N定义，从近似转化到精确，又能从精确转化到近似。在定义中，“存在正整数N”这句话。在于强调正整数N（即数列｛n｝中的第N项

数分中关于数列极限的定义是根据学生的认知水平的不同，从不同的高度给出了定义。

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对于数列极限的四则运算法则中学和数分中是一致即：若数列{

存在，则{

积、商. n an }和{ bn }的极限都 an }和{ b }的和、差、积、商的极限等于{ an }和{ bn }的极限的和、差、

2.2中学函数极限与数分函数极限(分为自变量趋近于一个具体数和趋近于无穷)

2.2.1中学函数极限

定义：(1)当自变量x无限趋近于x0时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数A，就说当趋向x0时，函数的极限是A,记作：=A.

(2)当自变量x无限趋近于∞时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数A，就说当趋向∞时，函数的极限是A,记作：=A.

数分函数极限

1、定义：（1）设函数f(x)在a的去心邻域U(a)有定义，b是有限数，若

0 >0，>0，:0<|x-a|<时(或xU(a,))，有|f(x)-b|< ,

则称函数f(x)(当x→a时)存在有限极限，极限是b或收敛于b,记为

=b 或f(x)→b (x→a)

(2)设函数f(x)在区间(a , +∞)有定义，b是有限数。若>0,A>0,x>A(>a),有|f(x)-b|<，则称函数f(x)(当x→+∞时)存在极限或收敛，极限是b或收敛于b，表为=b或f(x)→b(x 中学阶段关于函数极限的四则运算法则与数分中函数极限的四则运算法则是一致即：若函数f(x)和g(x)的极限都存在，则函数f(x)和g(x)的和、差、积、商的极限等于f(x)和g(x)的极限的和、差、积、商.

中学阶段关于函数的连续性定义为：若函数f(x)在点x0有定义，且极限值与函数值相等，即 则，函数f(x)在点x0连续。

函数f(x)在x x0处连续的充要条件是

数分中关于函数的连续性定义为：设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a存在极限，且极限就是f(a)，即=f(a)，则称函数f(x)在a 连续， a是函数f(x)的连续点。

(2)f(x)在a连续f(x)在a即右连续又左连续 或

由上可知中学阶段与数分中关于函数连续性的定义有相同也有不同，相同之处在于都是借助于极限值来定义其连续性；而不同之处在于数分中对在某一点的连续性的研究是从这一点的左右两个方面考虑的，而中学阶段没有。

无论是在中学阶段还是在数分中在进行函数极限运算时都需注意以下几点：

(1)有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积)再进行极限。 0