探求正多边形两个性质的实质
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探求正多边形两个性质的实质
６２
数学通报２０１４年第５３卷
第５期
张青山
（四川Ｉ职业技术学院应用数学与经济系
６２９０００）
文［１］给出了正多边形的两个性质．
性质１设正押边形Ａ，Ａ：…Ａ。的外心为０，则△Ａ：Ａｔ＋１Ａ。的重心Ｇ。（ｉ一１，２，…，咒一２，卵≥５）共圆，圆心Ｃ在ＯＡ。上，且ＯＣ：ＣＡ。＝１：２．
性质２设正规边形Ａ，Ａ：…Ａ。的外心为Ｏ，则△Ａ。Ａ汁。Ａ。的垂心Ｈ。（ｉ一１，２，…，行一２，咒≥５）共圆，圆心就是Ａ。．
文［２］对这两个性质给出了简证，并进行了推广．
我们对此进行了探究，对性质１给出如下的证明．
简证不妨设正挖边形Ａ，Ａ。…Ａ。的外接圆
可知均有磁一要菌成立，得五商一赢＋面
一昙两＋石声一百２ｕＢ。十了２瓦杏一百２Ａ。Ｂ。，即知
ｏ
ｏ
ｏ
ｏ
点集｛Ｇ。，Ｇ。，…，Ｇ。）是由点集｛Ｂ。，Ｂｚ，…，Ｂ。）通过以点Ａ。为位似中心，变换关系为Ａ。瓦＝
Ａ。瓦的位似变换而得到的，而通过位似变换得
０
到的平面图形与原图形相似，正如棱锥的一个简单性质：把一个棱锥用平行于其底面的平面去截它，其截口图形必与棱锥底面图形相似．由于点集｛Ｂ。，Ｂ。，…，Ｂ。）为一个正，ｚ边形的顶点集，那么点集｛Ｇ，，Ｇ：，…，Ｇ。）也是一个正，ｚ边形的顶点集．从而揭示出正多边形这两个性质的本质．由此我们得到如下推广．
定理１
对正行边形Ａ。Ａ：…Ａ。与空间一个
的半径为１，记砣一｛西《，令Ａ川一Ａ。，设线段
Ａ。Ａ…的中点为Ｂ；（ｉ一１，２，…，行），显然有画＝
妻（两＋耐），｜菌Ｉ＝ｃｏｓ至，那么
碡：亟篁錾：委商＋苟，
我们进一步由窿一要商发现向量碡与向
定点Ｐ，正孢边形Ａ。Ａ。…Ａ。的中心为Ｏ，三角形ＰＡ。Ａ：，ＰＡ。Ａ。，…，ＰＡ。Ａ。的重心分别为Ｇ。，Ｇ。，…，Ｇ。，则多边形Ｇ，Ｇｚ…Ｇ。是正ｎ边形，中心Ｃ在０Ｐ上，且０Ｃ：ＣＰ一１：２．
简证
故赢＝碡一砣＝善菌，即可知ｃ－－莓，Ｊ一号Ｉｏ－－茸，－１一了２ｃ。ｓ詈，即得△Ａ：Ａ川Ａ。
的重心Ｇｉ（ｉ一１，２，…，咒一２，，２≥５）共圆，圆心Ｃ在ＯＡ。上，且ＯＣ：ＣＡ。一１：２．证毕．
记Ａ㈣一Ａ。．设线段ＡｉＡ㈩的中点为
Ｂ；（ｉ一１，２，…，ｎ），由三角形重心的性质显然有关
系磁＝要Ｆ茸，邸知点集｛Ｇ。）是由点集｛Ｂ：）通过以点Ｐ为位似中心，变换关系为赢一睾蕊
的位似变换而得到的，易知咒边形Ｂ。Ｂ：…Ｂ。为正魂边形，那么即可知多边形Ｇ。Ｇ。…Ｇ。是正九边形，中心Ｃ在ＯＰ上，且０Ｃ：ＣＰ—ｌ：２．
定理２对正规边形Ａ，Ａ：…Ａ。与空间两个定点Ｐ，Ｑ，线段ＰＱ的中点为Ｓ，正挖边形Ａ，Ａ。…Ａ。的中心为０，三角形ＰＱＡ，，ＰＱＡ。，…，ＰＱＡ。的重心分别为Ｇ。，Ｇ：，…，Ｇ。，则多边形Ｇ，Ｇ２…Ｇ。是正靠边形，中心Ｃ在ＯＳ上，且０Ｃ：
ＣＳ一２：１．
量丽的夹角等于向量商与向量簖的夹角
业，这说明△Ａ，ＡｍＡ。的重心Ｇ；（ｉ＝１，２，…，
竹一２，扎≥５）不仅共圆，而且还是一个以Ｃ为中心的正行边形的，ｚ一２个顶点．这引发了我们的进一步思考，记Ａ。一。，Ａ。，Ａ。这三点的重心为Ｇ。一。，
Ａ。，Ａ。，Ａ，这三点的重心为Ｇ。，易知有Ａ。一，Ｇ。一：
瓦，硪蕊．当一，Ａ２ｉ１２，…，佗时，＝Ｇ。一１。，Ａ１Ｇ。＝Ｇ。Ａ。．当一，，…，佗时，（下转封底）
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