《几何概型(第一课时)》的教学设计

　　《几何概型（第一课时）》教学设计

　　黔西一中 施启军

　　教材分析：

　　本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（人教A版）必修3第3章《概率》

　　第3节内容，几何概型第一课时，几何概型的学习是在古典概型之后学习，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。在现实生活中，常常会遇到很多游戏的所有可能结果有无穷多的情况，这时我们就可以用几何概型来计算事件发生的概率，这充分体现了数学源于生活，数学与生活的紧密联系，同时也说明数学在概率论中有重要作用。概率在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用.

　　本节的核心素养是从生活中的转盘游戏抽象、建模转化为数学问题，运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成从直观想象到建模的逻辑思维的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识.

　　学情分析：本小节是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，继古典概型后对另一常见概型的学习，让学生通过观察、推断、归纳过度到几何概型的概念，有效提高学生直觉思维能力，对学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用. 三维目标：

　　知识与技能：了解几何概型的意义，会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型事件的概率.

　　过程与方法：通过学习几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，从有限到无限的推广，体验几何概型与古典概型的区别与联系.

　　情感、态度与价值观：通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流、独立思考的习惯.

　　教学重点：几何概型的基本特点及几何概型的概率公式及运用.

　　教学难点：从实际背景中观察、推断、归纳出几何概型概率公式.

　　课时安排

　　1课时

　　教学过程

　　一、创设情境，导入新课

　　问题情境一：拿出制作好的转盘，让学生亲自体验转盘游戏，体验游戏中中奖的可能性的大小及游戏的公平性。（设计意图：让学生亲自体验游戏并给适当的奖品，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望，自然地进入本节课的主题“几何概型”） 上述试验的可能结果个数有多少个? 它是古典概型吗？

　　有无数多个结果，不是古典概型。

　　在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.我们必须学习新的方法来解决这类问题.

　　为此，我们今天学习几何概型

　　探究 几何概型的概念

　　1.图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?

　　1

　　1.以转盘（1）为游戏工具时，甲获胜的概率为 23以转盘（2）为游戏工具时，甲获胜的概率为 .5

　　事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度（面积或圆心角的大小）有关,而与字母B所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的

　　（设计意图：这个问题都来自于日常生活中，学生们会跃跃欲试，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生不知不觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会被极大的调动起来.）

　　二、师生互动，意义建构

　　经过分析，在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解.

　　教师提问：由以上的问题，你觉得此类问题与古典概型相比有何特点？如何求此类问题的概率？

　　（设计意图：让学生讨论，教师适当点拨.由学生总结几何概型的概念、基本特点、概率计算公式，之后要加以说明，以便学生理解与记忆.帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延.）

　　几何概型概念：

　　如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

　　几何概型的特点:

　　(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（提醒学生与古典概型的区别）

　　(2)每个基本事件出现的可能性相等.（与古典概型的联系）

　　对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.

　　探究：几何概型的概率计算公式

　　1.与长度有关的几何概型的概率的求法

　　取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置随机剪断，那么剪得的两段绳子的长度都不小于1米的概率有多大？

　　解：设事件A为“剪得两段绳子的长度都不小于1米”，用线段MN表示3 m的绳子，E、F为MN的两个三等分点. 1因为EF=1 m,所以P(A)=

　　.3

　　2

　　例：某人午觉醒来，发现表停 了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.

　　解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得

　　60?501P(A)??. 606

　　即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6。

　　（设计意图：通过引例培养学生运用数学知识独立解决问题的能力）

　　2.与面积有关的几何概型的概率的求法

　　天舟一号货运飞船在2017年4月20人19时41分成功发射，假设在飞船返回地面时，有主着陆场、次着陆场两部分。主着陆场为边长为1200m的正方形区域，着陆场总面积为边长为2000m的正方形区域.求飞船在主着陆场内着陆的概率？

　　120029解:设“飞船在主着陆场内着陆”为事件A,则 p(A)??2200025所以飞船在主着陆场内着陆的概率9/25

　　拓展训练

　　某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为( )

　　1111 A.B.????????????C.D.13942

　　解：靶点与靶心的距离小于2的区域是以靶心为圆心以2为半径的圆的内部，故所求概率为

　　（设计意图：让学生通过实例，从解决实例的问题中去归纳总结出几何概型概率的计算公式，有利于培养学生梳理能力）

　　在几何概型中,事件A的概率的计算公式:

　　构成事件A的区域长度（面积或体积）P （A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

　　三、自我检测

　　1、取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.

　　分析 由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比.

　　解 记“豆子落入圆内”为事件A，则 4?1P??.36?9

　　圆面积?a2?P(A)?＝2? 正方形面积4a4

　　?. 4

　　2、如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒答 豆子落入圆内的概率为

　　3

　　一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 , 则阴影区域的面积为( ) 3

　　A. B.

　　C. D.无法计算

　　2234383

　　3.在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( 28S??2?.33 阴解：由几何概型知： 故 正方形 2 阴SS2?.3 ) 432 A.5 B. C. 55

　　1D.5

　　4、某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率是多少？

　　（设计意图：学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息.对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正.通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能）

　　四、小结

　　本节课我有什么收获？（由学生进行总结）

　　（1）几何概型的概念及基本特点；

　　（2）几何概型中概率的计算公式；

　　（3）在生活不要去参与一些赌博的游戏，

　　（设计意图：通过学生的总结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力；）

　　五、布置作业

　　（1）课本第103页习题3.3 必做题：A组 第1，2，3题；

　　选做题：B组 第1题

　　4

　　教学反思：

　　由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同的地方和不同的地方.

　　根据几何概型中最常见的形式：长度、面积、设置典型例题。

　　例题本身属于几何概型及概率计算公式的直接应用、简单应用，目的是加强对几何概型的理解；帮助学生明确解题步骤，规范解题格式.因此，例题的解决中：主要由学生去完成，以学生为中心，解答过程强调书写的规范性。

　　此外，为了进一步突出本节课的重点与化解难点，同时也是为了与下一节课衔接，例题设置有拓展引申，

　　绝大部分学生在单独处理例题1时是不用费多大劲的，但是当面对例1的拓展时，大部分学生很有可能感觉无从下手，原因何在？在于学生找不到本题中的时间与长度有关，——这恰好是本节课的难点，因此本题的教学对本节课的难点的突破至关重要，课堂上，教师不急于讲解，先让学生讨论，哪怕是争论，让学生参与进来，使得本节课的重点、难点得以突破，而且学生的数学思维的深刻性、广阔性等逻辑思维品质就得到了提高，思维品质提高了，思维能力也就提高了.这样，这节课的教学目标就基本上都达到了.

　　例题处理后，设置一组形成性练习，作为对本节课的实时检测.4个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力，进一步完成教学目标。在本节课中也存在一些不足之处，希望各位同仁提出宝贵的意见和建议。

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