数学建模之自动化车床车刀更换问题

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　自动化车床刀具更换问题

　　摘要

　　在工业生产中，自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工，而在自动化车床生产过程中，最容易磨损的就是刀具，所以刀具的检查与替换显得尤为重要。

　　本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此，我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准，建立随机优化模型，利用MATLAB软件求解，当单个零件的期望损失费最小时，所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　针对问题一： 此问题属于优化问题中的数理统计问题。对所给数据进行处理，在MATLAB中绘制出图形，经检验，发现刀具的寿命符合正态分布。因此我们建立了连续性随机模型，通过MATLAB编程求解出最终的结果为

　　与问题一不同的是：在工序正常时，会产生不合格产品，工序不正常时会产生合格产品。因此工序正常时增加了因误检停机的费用，工序故障时增加了因误检而

　　在问题三中运用了组合检查法，每次连续检查两个产品，这样就会降低误判的概率，其他的条件不变，最终建立了以单个零件期望损失费为目标函数的随机优化模型。利用MATLAB编程求解出最后的结果为

　　关键词：数理统计 正态分布 随机优化模型

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　１问题重述

　　1.1问题背景

　　随着社会的日新月异，国内机床企业大力实施技术创新，在产品结构调整上取得了较大进展。为适应市场需求变化，许多机床企业压缩了低档、普通产品生产，加快经济型数控机床升级换代步伐，着力发展中高档数控机床及生产线等。在工业生产中，自动化车床刀具的磨损是比较常见的问题，在刀具磨损之后，刀具的检查和更换显得尤为重要，刀具检查和更换周期的优劣将直接影响生产成本。

　　1.2已知条件

　　一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90%，非刀具故障仅占10%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现非刀具故障的概率均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。

　　现积累有150次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。

　　附：150次刀具故障记录（完成的零件数）

　　311 460 975 463 708 666 398 771 532 474 538 740 651 458 407 420 467 207 457 337 759 488 509 486 539 218 715 509 647 565 314 613 530 578 599 319 574 647 730 481 597 589 628 132 316 601 484 440 372 477 497 591 243 587 172 668 865 362 678 382 389 673 749 836 468 384 548 643 563 526 749 487 417 649 570 214 527 308 553 743 747 619 656 525 372 607 620 726 379 605 280 586 763 851 653 492 528 607 590 590 779 576 651 249 560 723 927 449 644 325 619 734 320 599 754 433 521 971 175 582 549 549 375 802 256 557 529 678 567 656 627 502 708 531 503 452 677 524 539 212 309 573 673 398 408 592 447 463 415 594

　　1

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　1.3所求问题

　　（1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。

　　（2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有25%为合格品，75%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。

　　（3） 在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。

　　2模型假设与符号说明

　　2.1模型假设

　　( 1) 假设生产每个零件时工序出现故障是完全随机的，且故障完全随机。 ( 2) 假设生产每个零件时刀具故障仅与刀具寿命有关。

　　( 3) 假设仅能通过检测零件来判断是否出现故障，即故障必须在检查点才能被发现，且无法单纯从一次检验判断该故障是刀具损坏故障还是其他故障。

　　（4）假设所有的故障检查都需要更换刀具。

　　2.2符号说明

　　2

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　3问题分析

　　通过题目中的信息，可以看出用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，故障的出现完全是随机的，一旦出现故障就有可能生产出不合格的零件，造成损失。通过定期对刀具的检查和更换，可以减少不合格产品的产生，从而减少生产中的损失，但是如果对刀具的检查过度频繁，就会增加检查费用，为此，需制定一种比较合理的检查和更换刀具计划，使生产单个合格零件的损失费用最低。

　　对于问题一：题目中已经做出了工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品的假设，这将大大的减少问题的难度，我们只需要考虑两种情况：(1)换刀前发生故障（2）换刀前未发生故障。求出两种情况中总期望损失费用和总期望合格零件数，再求出单个零件期望损失费用，用Matlab软件求出结果。

　　对于问题二: 工序正常时产出的零件有1%为不合格品;而工序故障时产出的零件有25%为合格品,其余为不合格品.工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次.为此,此问的效益函数必须考虑到两种误判,一是工序正常时检查到不合格品误判停机,使检查的费用增加;二是工序故障时检查到合格品继续生产直到下一次检查,使不合格品的数量增加.将这两种误判对相应检查费用和故障造成的不合格品损失和修复费用的影响考虑后,得到问题二的优化模型.利用Matlab软件求解。

　　对于问题三：问题三是在问题二的基础上将检查方法进一步优化，为此，设计出组合检查法，减小在检查过程中误检，组合检查法的具体操作步骤如下：首先在固定检查时间时连续检查两个，如果两个零件都合格，则认为工序正常；如果两个零件都不合格，则认为工序出现故障，如果一个零件合格，一个零件不合

　　3

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　格，则再检查一个，如果第三个零件正常，则认为工序正常，否则工序故障。将误检考虑后，得到问题三的优化模型，利用Matlab软件求解。

　　4数据处理

　　4.1做频率分布直方图

　　题目中给出150次刀具发生故障的记录，用MATLAB对所给的数据进行处理（源程序见附录一），将其作成频率分布直方图如图

　　1

　　图1频率分布直方图

　　从图1可以推测,该刀具寿命可能服从正态分布.下面我们对刀具寿命的正态进行检验.

　　4.2分布的正态性检验

　　由上面的频率分布直方图我们得出该刀具的寿命近似的服从正态分布,下面我们运用Matlab程序(源程序见附录一)进行分布的正态检验,绘制如下的正态分概率图:如图2

　　4

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　图2: 正态概率图

　　从图2可以看出,数据基本分布在一条直线上,故可以初步确定刀具故障概率为正态分布.

　　4.3参数估计

　　[513.4698, 566.3836],标准差的0.95置信区间为[147.2887,184.9750].

　　4.4假设检验

　　已知刀具的寿命服从正态分布,现在方差未知的情况下,检验其均值是否等于540.由Matlab程序(参见附录一)可以计算得:h = 0,sig = 0.9956,ci = [513.4698, 566.3836].

　　检验结果:

　　1. 布尔变量h = 0,表示不拒绝零假设.说明提出的假设寿命均值540是合理的.

　　2. 95%的置信区间为[513.4698, 566.3836],它完全包括540,且精度很高.

　　3. sig的值为0.9956,远超过0.5,不能拒绝零假设.

　　所以,可以认为刀具的平均寿命u?540.即刀具的寿命服从u?540,??163.98，所以刀具寿命的概率密度函数为：f?x??1e?2?_?x?u?22?2（其中u?540,??163.98）

　　5问题一模型的建立与求解

　　5

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　5.1模型一的建立

　　1：在换刀前出现故障

　　假定故障前生产的x个零件都合格，在第m次检查出故障，故障费用分为3个部分

　　（1）检查费用：t?m

　　（2）零件损失费：f??ma?x?

　　（3）故障解决费：d

　　换刀前发生故障的损失费：W1?t?m?f??ma?x??d

　　2：换刀前未出现故障

　　假定换刀前未出现故障的最大检查次数为M，则故障费用分为2个部分

　　（1）检查费用：M?t

　　（2）换刀费用：k

　　换刀前未出现故障的损失费：W2?M?t?k

　　3概率的计算

　　换刀前刀具未发生故障，说明刀具的寿命比换刀周期长，由于刀具的故障服从正态分布，所以：

　　（1）换刀前刀具未发生故障的概率为p1??f?x?dx y?

　　（2）换刀前刀具发生故障的概率为p2?1?p1

　　又因为刀具发生故障的概率占总故障概率的90%，所以：

　　p2p? （3）换刀前发生故障的概率30.9

　　（4）换刀前未发生故障的概率p4?1?p3

　　4期望的计算

　　一个换刀周期内的期望损失费E?w??W1p3?W2p4

　　一个周期内的期望零件数E?l??map 3?yp4

　　一个周期内单个零件的损失费 E??

　　5.综上所述，所确立的模型一为： p?E?w?E?l?

　　MinE?p??E?w?

　　E?l?

　　6

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　??E?w??W1p3?W2p4s.t.???E?l??map3?yp4

　　当E?p?达到最小值时， 此时求出的a和y为最佳检查周期和最佳换刀周期

　　5.2模型一的求解

　　问题一模型流程如下图所示：

　　问题一的流程图 利用MATLAB（源程序见附录二）对上述模型进行求解，可得到：

　　7

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　即每生产23个零件检查一次，生产298个零件后进行定期换刀，每个零件的期望损失费用为6.3616元。

　　5.3模型一的结果分析

　　此模型采用了等间隔检查的方式，简化了模型，其中对损失费用分两种情况讨论，简单明了，易于理解。将求解最佳检查间隔和换刀间隔转化求解最小期望损失费用，使模型的目标性更强。

　　6问题二模型的建立与求解

　　6.1模型二的建立

　　1 如果在换刀之前已经发生故障，假设第m+1次检查出故障，则此时已经生产的零件个数为：?m?1?a，前m次检查都是正常工作的，未发生故障时生产的零件个数为 x，发生故障后生产的零件个数为：?m?1?a?x，根据题中信息，我们可知，正常工作时次品率为1%，发生故障时次品率为75%，则损失费用包括五部分：

　　（1）检查费用：?m?1?t；

　　（2）误检停机费用：m?h?1%??；

　　（3）正常工作时的次品损失费用：x?f?1%?；

　　（4）发现故障进行调节使恢复正常的费用d；

　　M?m?1??（5）发生故障后次品的损失费用：?a?m?1??x??0.4i?a?f?75%?

　　i?0??

　　则此种情况下总的损失费用为：

　　M?m?1??W1??m?1??t?m?h?1%?x?f?1%?d??a?m?1??x??0.4i?a?f?75%

　　i?0??

　　2如果在换刀之前未发生故障，则在换刀时刻已经生产的零件个数为y，根据题目的信息，这些零件中的废品率为1%，则损失费用包括四部

　　（1）检查费用：M?t；

　　（2）误检停机费用：M?h?1%?；

　　8

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　298

　　zya =

　　23

　　附录三

　　clear,clc

　　min=inf;

　　f=300;

　　t=20;

　　d=3000;

　　k=1200;

　　h=1500;

　　for y=100:1000 %y换刀周期

　　for a=10:500 %a检查周期

　　p2=0; p=0;

　　p4=normcdf(y,539.9267,163.9814); %p4刀具发生故障的概率

　　p1=1-p4./0.9; %p1换刀前不发生故障的概率

　　r=[1:y-1];

　　p2=sum( (t*(floor(r/a)+1)+d+floor(r/a)*h*0.01+r*f*0.01+((floor(r/a)+1)*a-r)*f*0.75).*normpdf

　　(r+1,539.9267,163.9814))./0.9; %换刀前发生故障使得费用期望

　　i=[1:y-1];

　　p=sum(i.*normpdf(i,539.9267,163.9814)./0.9).*0.99; %换刀前发生故障的故障发生前的

　　合格产品期望

　　p3=sum((a*(floor(i/a)+1)-i).*normpdf(i,539.9267,163.9814)./0.9)*0.25; %换刀前发生

　　故障的故障发生后的合格产品的期望

　　minp=((k+floor(y/a)*t+h*floor(y/a)*0.01+a*f*0.01)*p1+p2)/(y*p1*0.99+p+p3); %平均费用的期望 if minpmin

　　min=minp;

　　zyb=y;

　　zya=a;

　　end

　　end

　　end

　　min

　　zyb

　　zya

　　min =

　　7.0593

　　16

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　zyb =

　　296

　　zya =

　　33

　　附录四

　　clear,clc

　　min=inf;

　　f=300;t=20;d=3000;k=1200; h=1500;

　　for y=100:1000 %换刀周期

　　for a=10:500 %检查周期

　　p2=0; p=0;

　　p4=normcdf(y,539.9267,163.9814); %刀具发生故障的概率

　　p1=1-p4./0.9; %换刀前不发生故障的概率

　　r=[1:y-1];

　　p2=sum( (t*(floor(r/a)+1)+d+floor(r/a)*h*0.15625+r*f*0.01+((floor(r/a)+1)*a-r)*f*0.75).*normpdf(r+1,539.9267,163.9814))./0.9; %换刀前发生故障使得费用期望 i=[1:y-1]; p=sum(i.*normpdf(i,539.9267,163.9814)./0.9).*0.99; %换刀前发生故障的故障发生前的合格产品期望

　　p3=sum((a*(floor(i/a)+1)-i).*normpdf(i,539.9267,163.9814)./0.9)*0.25; %换刀前发生故障的故障发生后的合格产品的期望

　　minp=((k+floor(y/a)*t+h*floor(y/a)*0.000298+a*f*0.01)*p1+p2)/(y*p1*0.99+p+p3); %平均费用的期望

　　if minpmin

　　min=minp;

　　zyb=y;

　　zya=a;

　　end

　　end

　　end

　　min

　　zyb

　　zya

　　min =

　　17

　　在工业生产中,自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工,而在自动化车床生产过程中,最容易磨损的就是刀具,所以刀具的检查与替换显得尤为重要。 本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。为此,我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准,建立随机优化模型,利用MATLAB软件求解,当单个零件的期望损失费最小时,所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。

　　6.9932

　　zyb =

　　278

　　zya =

　　31

　　18