贾俊平《统计学》第五版第7章_参数估计 - 副本Word

　　第7章 参数估计

　　7.1 参数估计的基本原理7.1.1 估计量与估计值 参数估计就是用样本统计量去估计总体参 数。 用于估计总体参数的统计量称为估计量， 根据样本计算出来的估计量的数值称为估 计值。

　　被估计的总体参数总体参数 均值 一个总体 比例 方差 均值之差 两个总体 比例之差 方差比 符号表示

　　用于估计的 样本统计量

　　P

　　x ps2 x1 x2 1 p 2 p2 s12 s2

　　2 1 2P 1 P 22 12 2

　　7.1.2 点估计与区间估计 1.点估计 的某个取值直接作为总 用样本统计量 体参数 的估计值。 例如: 用样本均值 x 作为总体未知均值 的估计值就是一个点估计

　　点估计没有给出估计值接近总体未知参 数程度的信息

　　2.区间估计 在点估计的基础上，给出总体参数估计 的一个区间范围，该区间通常由样本统计量 加减估计误差得到。对样本统计量与总体参 数的接近程度给出一个概率度量。例如: 总体均值落在50~70之间，置信度为95%置信区间 样本统计量 (点估计)

　　置信下限

　　置信上限

　　X = Z x

　　_ x

　　- 2.58 x

　　-1.65 x

　　+1.65 x

　　+ 2.58x

　　X

　　-1.96 x

　　+1.96 x

　　90%的样本 95% 的样本

　　99% 的样本

　　置信水平：1. 置信区间中包含总体参数真值的次数所占 比例 2. 表示为 (1 - – 为显著性水平，是总体参数未在区间内的 概率

　　3. 常用的显著性水平值有 99%, 95%, 90%– 相应的 为0.01,0.05,0.10

　　区间与置信水平均值的抽样分布 /2

　　x1-

　　/2

　　x(1 - ) % 区间包含了

　　X

　　% 的区间未包含

　　7.1.3 评价估计量的标准 1.无偏性 估计量抽样分布的数学期望等于被估计 为 的无偏估计量。 E 。 的总体参数， 则称 x, p, s 2 分别是 , , 2 的无偏估计量P( X )无偏 有偏

　　A

　　C

　　X

　　2.有效性

　　对同一总体参数的两个无偏估计量，有 更小标准差的估计量更有效。 与其他估计量相比 ，样本均值是一个更 有效的估计量P(X )均值的抽样分布

　　B A中位数的抽样分布

　　X

　　7.2.3 总体方差的区间估计对于正态总体方差的估计，可以用 2 n 1 s 2 2 = ~ n 1 统计量进行估计 2 总体方差在 1-α 置信水平下的置信区 n 1 s 2 n 1 s 2 , 2 2 间为 2 1 2

　　【例】对某种金属的10个样品组成的一个随 机样本作抗拉强度试验。从实验数据算出 的方差为4。试求 2的95%的置信区间。解:已知n=10,s2 =4,1- =95% 2置信度为95%的置信区间为 10 1 4 10 1 4 , 19.0228 2.7004 1.8925, 13.3314

　　7.3 两个总体参数的区间估计7.3.1 两个总体均值之差的区间估计总体1

　　1 1

　　2 2

　　总体2

　　抽取简单随机样 样本容量 n1 计算 X1

　　计算每一对样本

　　的X1-X2

　　抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2

　　所有可能样本 的X1-X2

　　抽样分布

　　1 2

　　1.两个总体均值之差的估计：独立样本如果两个样本是从两个总体中独立抽取 的，即一个样本中的元素与另一个样本中的 元素相互独立，则称为独立样本

　　(1)大样本的估计如果两个都是正态分布，或两个都是大样本(n≥30) ,则 有x x z ~ N 0,1 1 2 1 2

　　12n1

　　2 2

　　n2 12n12 2

　　当两个总体的方差已知时， 两个总体均值之差在 1-α 置信 水平下的置信区间为： x1 x2 z 2 水平下的置信区间为： x1 x2 z 2 n2

　　当两个总体的方差未知时， 两个总体均值之差在 1-α 置信2 s12 s2 n1 n2

　　某地区教育管理部门想估计两所中学的学生 高考时的英语平均分数之差，为此在两所学 校独立抽取两个随机样本，有关数据如下：

　　n1 46 n2 33 x1 86 x 2 78 s1 5.8 s2 7.2

　　建立两所学校高考英语平均分之 差95%的置信区间

　　x x z1 2

　　2

　　s s n1 n2 5.82 7.22 46 33

　　2 1

　　2 2

　　86 78 z0.025 8 1.96 1.52

　　(2)小样本的估计在两个样本都是小样本的情况下，为估 计两个总体的均值之差，需要做出以下假定 两个总体都服从正态分布 两个随机样本独立的分别抽自两个总体 则两个样本均值之差必定服从正态分布

　　1)总体方差已知 使用正态分布统计量ZZ ( X 1 X 2 ) ( 1 2 )

　　12n1

　　2 2

　　~ N (0,1)

　　n2

　　两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平 下的置信区间为( x1 x 2 ) Z 2

　　12n1

　　2 2

　　n2

　　【例】一个银行负责人想知道储户存入两家 银行的钱数。他从两家银行各抽取了一个由 25 个储户组成的随机样本，样本均值如下： 银行A:4500元；银行B:3250元。设已知两个 总体服从方差分别为 A2=2500和 B2=3600的正 态分布。试求 A- B的区间估计 (1)置信度为95% (2)置信度为99%

　　解:已知 XA~N( A,2500) XB ~N( B,3600) xA=4500, xB=3250, A2 =2500 B2 =3600 nA= nB =25

　　(1) A- B置信度为95%的置信区间为(4500 3250) 1.96 = 1219.78 , 1280.62 2

　　500 3600 25 25

　　(2) A- B置信度为99%的置信区间为

　　2500 3600 (4500 3250) 2.58 25 25 = 1209.7 ,1290.3

　　2)总体方差未知但相等 使用 t 分布统计量x x t t n n1 2 1 2

　　sp

　　1 1 n1 n2

　　1

　　2

　　2 2 1 2 2

　　s

　　2 p

　　n1 1 s n2 1 s n1 n2 2

　　两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平 下的置信区间为 1 1 x1 x2 t 2 n1 n2 2 s p n1 n2

　　【例】为比较两位银行职员为新顾客办理个 人结算账目的平均时间长度，分别给两位职 员随机安排了10位顾客，并记录下为每位顾 客办理账单所需的时间(单位：分钟),相 应的样本均值和方差分别为： x1=22.2, s12=16.63, x2=28.5,s22=18.92。假定每位职 员办理账单所需时间均服从正态分布，且方 差相等。试求两位职员办理账单的服务时间 之差的95%的区间估计。

　　解:已知 X1~N( 1, 2) X2 ~N( 2, 2) x1=22.2, x2=28.5, s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 1 2 = 1 2

　　sp

　　n1 1 s12 n2 1 s 22n1 n2 2

　　10 1 16.36 10 1 18.9210 10 2

　　4.2

　　1- 2置信度为95%的置信区间为1 1 22.2 28.5 (2.1)( 4.2) 10 10 ( 10.2, 2.4)

　　3)当两个总体方差未知且不相等 使用的统计量为t ( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) s s n1 n22 1 2 2

　　~ t (v )v 2 s2 s 1 2 n n2 1 2 s1 n1

　　2

　　2

　　两个总体均值之差 1- 2在1- 置信水平 下的置信区间为

　　n1 1

　　2 s2

　　n2

　　2

　　n2 1

　　s s x1 x2 t 2 (v) n1 n2

　　2 1

　　2 2

　　【例】为比较两位银行职员为新顾客办理个 人结算账目的平均时间长度，分别给两位 职员随机安排了10位顾客，并记录下了为 每位顾客办理账单所需的时间(单位：分 钟),相应的样本均值和方差分别为： x1=22.2,s12=16.63, x2=28.5,s22=18.92 。假定每位职员办理账单所需时间均服从 正态分布，但方差不相等。试求两位职员 办理账单的服务时间之差的95%的区间估计 。

　　解:已知 X1~N( 1, 2) X2 ~N( 2, 2) x1=22.2, x2=28.5, s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 12 12

　　f

　　自由度 f 为 2 16 .36 18 .92 10 10

　　16 .36 1 18 .92 1 10 9 10 9

　　2

　　2

　　17 .9 18

　　1- 2置信度为95%的置信区间为16.36 18.92 22.2 28.5 2.1009 10 10 ( 10.25, 2.35)

　　2.两个总体均值之差的估计：匹配样本匹配样本：一个样本中的数据与另一个样本中 的数据相对应，可以消除样本指定的不公平(1)大样本 两个总体均值之差 1- 2 在 1- 置信水平下的置信区间为

　　d z 2

　　dn

　　其中：d 表示两个匹配样本对应数据的差值d 表示各差值的均值

　　d 表示各差值的标准差，当总体 d 未知时，可以用样

　　本差值的标准差 sd 代替

　　(2)小样本 假定两个总体个观察之的配对差服从正态分布， 两个总体均值之差 1- 2 在 1- 置信水平下的置信 区间为

　　d t 2 n 1

　　sd n

　　7.3.2 两个总体比例之差的区间估计1. 假定条件 两个总体是独立的 两个总体服从二项分布 可以用正态分布来近似

　　2. 两个总体比例之差P1-P2在1- 置信水平下 的置信区间为

　　1 p 2 Z 2 p

　　p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 ) n1 n2

　　【例】某饮料公司对其所做的报纸广告在两 个城市的效果进行了比较，它们从两个城 市中分别随机地调查了1000个成年人，其 中看过广告的比例分别为p1=0.18和p2=0.14 。试求两城市成年人中看过广告的比例之 差的95%的置信区间。

　　^ ^ 解:已知 p =0.18 , p 1 2=0.14,1- =0.95, n1= n2=1000

　　P1- P2置信度为95%的置信区间为

　　0.18(1 0.18) 0.14(1 0.14) 0.18 0.14 1.96 1000 1000 0.0079 , 0.0721 我们有95%的把握估计两城市成年人中看过该广 告的比例之差在0.79% ~ 7.21%之间

　　7.3.3两个正态总体方差比的区间估计S x2 12 2 2 ~ F n1 1, n2 1 2 2 由于 1 2 S y 2 , 所以两个正2 S x2 S y

　　12 态总体方差比 22 在 1- 置信水平下的置信区间为

　　F1 2

　　2 2 2 2 2 Sx Sy Sx 12 12 S x S y 2 2 F 2 ,即 2 Sy 2 F 2 2 F1 2

　　【例】用某一特定工序生产的一批化工产品中的杂 质含量的变异依赖于操作过程中处理的时间长度。 某生产商拥有两条生产线，为了降低产品中杂质平 均数量的同时降低杂质的变异，对两条生产线进行 了很小的调整，研究这种调整是否确能达到目的。 为此从两条生产线生产的两批产品中各随机抽取了 25个样品，它们的均值和方差为 x1=3.2 ,S12 =1.04

　　x2=3.0 , S22 =0.51

　　试确定两总体方差比 12/ 12的90%的置信区间。

　　解:已知 x1=3.2,S12 =1.04

　　12/ 22 置 信 度 为 90% 的 置 信区间为

　　x2=3.0,S22 =1.04F1- /2 (24, 24) =F0.95 =1.98 F /2 (24, 24) =F0.05=0.51

　　1.04 1 1.04 1.98 0.51 1.98 0.512 1 2 2

　　12 1.03 2 4.04 2

　　7.4样本量的确定7.4.1 估计总体均值时样本量的确定1. 根据均值区间估计公式可得样本容量n为n 2 2 Z 2

　　E2

　　其中： E Z 2

　　n

　　2. 样本容量n与总体方差 2、允许误差E、可 靠性系数Z之间的关系为 与总体方差成正比 与允许误差成反比 与可靠性系数成正比

　　【例】一家广告公想估计某类商店去年所花 的平均广告费用有多少

　　。经验表明，总体 方差约为1800000元。如置信度取95%,并 要使估计处在总体平均值附近500元的范围 内，这家广告公司应抽多大的样本？解 : 已 知 2=1800000 , =0.05 , Z /2=1.96,E=500 2 应抽取的样本容量为 n

　　Z 2 22

　　E (1.96) 2 (1800000) 2 500 27.65 28

　　7.4.2 估计总体比例时样本量的确定1. 根据比例区间估计公式可得样本容量n为

　　n

　　Z (1 )2 2

　　E

　　2

　　其中： E Z 2

　　n (1 )

　　^ 来代替 2. 若总体比例π未知时，可用样本比例 p

　　【例】根据以往 的生产统计，某种产品的合 格率为90%,先要求估计误差为5%,在95% 的置信区间下，应抽取多少个产品作为样 本?解: 已知E=0.05, =0.05,Z /2=1.96,π=90%

　　应抽取的样本容量为

　　n

　　2 Z 2 (1 )

　　E2 (1.96) 2 (0.9)(1 0.9) (0.05) 2 139