第十一章 联立方程组模型Word

　　第十一章第一节 第二节 第三节 第四节

　　联立方程组模型

　　联立方程组模型及其偏倚 联立方程组模型的识别 联立方程组模型的估计 案例分析

　　第一节 联立方程组模型及其偏倚一、联立方程组模型的性质二、联立方程组模型中变量的类型 三、联立方程组模型的偏倚性

　　四、联立方程组模型的种类

　　一、联立方程组模型的性质联立方程组模型：指用若干个相互关联的单一方 程，同时去表示一个经济系统中经济变量相互 联立依存性的模型，即用一个联立方程组去表 现多个变量间互为因果的联立关系。也称为联 立方程模型。例：模型Ⅰ(商品需求与价格) Qt 0 1 Pt 2 X t u1t * P Q P 0 1 t 2 t u2 t t Qt: 需求量 Pt: 价格 * P X t: 消费者收入水平 t : 代用品价格3

　　例：模型Ⅱ(简化的凯恩斯宏观经济模型) C t 0 1Yt u1t I t 0 1Yt 2Yt 1 u2 t Y C I G t t t tCt: 消费 I t: 投资 Yt: 国民收入 Gt: 政府支出

　　说明：联立方程组模型中的方程 随机方程(行为方程式):含有随机扰动项和未知 参数的非确定性方程； 定义方程式：不含随机扰动项和未知参数的确定性 方程。 4

　　二、联立方程组模型中变量的类型1.内生变量： 由模型体现的经济系统本身所决定； 受模型中其他变量的影响，是某个方程式中的被解 释变量； 一般受随机扰动项的影响而成为随机变量。 2.外生变量： 在模型体现的经济系统之外给定； 不受模型中其他变量的影响，在某个方程式中充当 解释变量； 在模型中是非随机的。5

　　3.滞后内生变量：代表内生变量滞后值的变量。 虽然内生变量是由模型系统内决定的，但滞后 内生变量不受现期的模型系统决定。 4.前定变量：包括外生变量和滞后内生变量。 模型Ⅰ Qt 0 1 Pt 2 X t u1t * P Q P 0 1 t 2 t u2 t t 模型Ⅱ C t 0 1Yt u1t I t 0 1Yt 2Yt 1 u2 t Y C I G t t t t

　　小练习判断下述模型中的内生变量、外生变量、前定变量。 练习1 Rt 0 1 M t 2Yt 3Yt 1 u1t Yt 0 1 Rt u2 t Rt: 利率 Yt:GDP M t: 货币供给练习2 Wt 0 1 I t u1t C t 0 1 I t 2Wt u2 t P I W C u 0 1 t 2 t 3 t 3t t Wt: 国有企业职工年平均工 资 Pt: 价格指数

　　Ct: 居民消费水平指数 I t: 固定资产投资 7

　　三、联立方程组模型的偏倚性以前述模型为例来进行说明

　　。模型Ⅱ C t 0 1Yt u1t ① I t 0 1Yt 2Yt 1 u2 t ② Y C I G t t t t ③ 把式①和式②代入③中，则： 0 0 u1t u2t 2 1 Yt Yt 1 Gt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

　　联立方程组模型的偏倚性：指由于联立方程组模 型中的内生变量作为解释变量与随机扰动项相 关，从而引起参数的OLS估计量有偏且不一致， 称为联立方程组模型的偏倚性。

　　四、联立方程组模型的种类按变量间的联系形式分，可将联立方程组模型分 为三类：结构型模型、简化型模型、递归型模 型。 1.结构型模型 ①定义：指根据经济行为理论或经济活动规律 设定的，描述经济变量之间现实的经济结构关 系的模型。 模型Ⅱ 模型Ⅰ C t 0 1Yt u1t Q P X u t 0 1 t 2 t 1t I t 0 1Yt 2Yt 1 u2 t * Pt 0 1Qt 2 Pt u2 t Yt C t I t Gt 10

　　②结构型模型的标准形式 11Y1t 12Y2 t 1 M YMt 11 X 1t 12 X 2 t 1kYkt u1t 21Y1t 22Y2 t 2 M YMt 21 X 1t 22 X 2 t 2 kYkt u2 t M 1Y1t M 2Y2 t MM YMt M 1 X 1t M 2 X 2 t Mk Ykt uMt

　　Y1t ,Y2t , ,YMt 为内生变量 X1t, X 2t, , X kt 为前定变量 (X u1t , u2t , , uMt 为随机扰动项1t

　　可恒等于 1, 表示常数项 )

　　ij ( i 1,2, , M ; j 1,2, , M )为内生变量的参数 ij ( i 1,2, , M ; j 1,2, , k )为前定变量的参数

　　统称：结 构参数11

　　③结构型模型标准形式的矩阵表示 11Y1t 12Y2 t 1 M YMt 11 X 1t 12 X 2 t 1kYkt u1t 21Y1t 22Y2 t 2 M YMt 21 X 1t 22 X 2 t 2 kYkt u2 t M 1Y1t M 2Y2 t MM YMt M 1 X 1t M 2 X 2 t Mk Ykt uMt

　　Y X U

　　Y X U 11 21 M 1

　　结构型模型标准形 式的矩阵表示

　　12 22

　　1M 2M

　　M2

　　MM M M

　　Y1t Y 2t Y YMt M 1 u1t u 2t U uMt M 1

　　11 12 22 21 M 1 M 2

　　1k X 1t X 2k 2t X Mk M k X kt k 1

　　④例：前述模型Ⅰ Qt

　　0 1 Pt 2 X t u1t * P Q P 0 1 t 2 t u2 t t

　　① ②

　　* 移项得： Q P X 0 P t 1 t 0 2 t t u1 t

　　* 1Qt Pt 0 0 X t 2 Pt u2 t 1 0 u1t 1 Qt 0 2 1 Xt P 0 u 1 0 2 1 t 2t * P t

　　Y X U14

　　⑤说明 结构方程反映了内生变量直接受前定变量、其

　　他内生变量和随机扰动项影响的因果关系，方 程的右端可能出现其他内生变量。 结构参数 ij 和 ij ,反映了结构方程中解释 变量对被解释变量的直接影响程度。 结构型模型具有偏倚性问题，不能直接用OLS 法估计。 不能直接用结构型模型进行预测。

　　2.简化型模型简化型模型，指每个内生变量都只被表示为前定 变量及随机扰动项函数的联立方程模型。

　　Y X U 1 1 1 1 若 0, 则 存在， 则： Y X U Y 1 X 1U 令 1 ,V 1U, 则：Y X V简化型模型 的参数矩阵 简化型模型的 随机扰动项16

　　结构型模型标准形 式的矩阵表示

　　例：前述模型Ⅰ Qt 0 1 Pt 2 X t u1t * P Q P 0 1 t 2 t u2 t t①+② 1 得：

　　① ②

　　Qt ( 0 1 0 ) 1 1Qt 2X t 1 2 Pt* u1t 1u2t

　　②+① 1 得：

　　0 1 0 u1t 1u2 t 2 1 2 * Qt Xt Pt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1* t

　　Pt ( 0 1 0 ) 1 1 Pt 2 1 X t 2 P 1u1t u2t

　　0 1 0 1u1t u2t 2 1 2 * Pt Xt Pt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17

　　说明 简化型模型中每一个方程的右端不再出现内生

　　变量，只有前定变量和随机扰动项。 简化型模型不存在偏倚性问题，可以直接利用 OLS法进行估计。 简化型模型的参数，综合反映了前定变量对内 生变量的直接影响和间接影响。 简化型模型可用于预测。

　　直接影响和间接影响理解结构型模型 Qt 0 1 Pt 2 X t u1t * P Q P 0 1 t 2 t u2 t t

　　① ②

　　简化型模型 0 1 0 u1t 1u2 t 2 1 2 * Qt Xt Pt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

　　第二节 联立方程组模型的识别一、联立方程组模型识别的定义二、联立方程组模型识别的类型 三、联立方程

　　组模型识别的方法

　　一、联立方程组模型识别的定义例：(商品需求与价格) Qt 0 1 Pt 2 X t u1t 结构型模型 * P Q P 0 1 t 2 t u2 t t 简 Q 0 1 0 2 X 1 2 P * u1t 1u2 t t t t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 化 P 0 1 0 2 1 X 2 P * 1u1t u2 t t t 型 t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * Q X P t 11 12 t 13 t v1 t * P X P 21 21 t 23 t v 2 t t21

　　* Q X P t 11 12 t 13 t v1 t * P X P 21 21 t 23 t v 2 t t 0 1 0 2 1 2 , 12 , 13 其中， 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

　　0 1 0 2 1 2 21 , 22 , 23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11, 12, 13, 21, 22, 23 能否利用OLS法估计出 , , 0, 1, 2, 再利用上述六个方程，求出 0 1 2

　　针对不同的模型，可能求得出，也可能求不出；可 能求出的解是唯一的，也可能有很多个解。22

　　联立方程组模型识别的定义联立方程组模型的识别问题，是指能否从简化型模 型参数的估计值中，合理地求解出结构型模型参 数的估计值。如果可以求解出，则这个结构方程 是可识别的，否则是不可识别的。 说明：

　　联立方程组模型的识别问题是针对结构型模型而言的； 结构型模型中的定义方程、均衡方程不存在识别问题； 如果结构型模型中的每一个结构方程都是可识别的，则 称该联立方程组模型是可识别的；在结构型模型中，只 要有一个结构方程不可识别，就称该联立方程组模型是 不可识别的。23

　　二、联立方程组模型识别的类型1.不可识别

　　2.恰好识别3.过度识别

　　1.不可识别定义：如果结构型模型中的某个方程参数的估计 值，不能由简化型模型参数的估计值求解出， 则称该方程是不可识别的。例1:商品需求与供给 Qtd 1 2 Pt u1t ① s Qt 1 2 Pt u2 t ② d s Q Q ③ t t

　　Qtd: 商品需求量Q : 商品供给量Pt: 商品价格s t

　　Qtd 1 2 Pt u1t ① s Qt 1 2 Pt u2 t ② d s Q Q ③ t t 利用①②和③可得： 1 2 Pt u1t 1 2 Pt u2 t

　　1 1 u2 t u1t Pt 2 2 2 2

　　④

　　将④代入①中可得： Q ( 1 1 u2 t u1t ) u t 1 2 1t

　　2 2 2 2 2

　　1 1 2 2 u2 t 2 u1t Qt 2 2 2 2 从而简化型： Pt 1 v1t Qt 2 v 2 t

　　Pt 1 v1t 1 1 2 1 1 2 简化型： 1 2 其中， 2 2 2 2 Qt 2 v 2 t 1, 2 利用OLS法估计出简化型模型的参数 , 1, 2, 再利用上述两个方程，无法求出四个未知数 1 2

　　故：结构型模型中的两个方程均不可识别，该联立方 程组模型不可识别。 Qtd 1 2 Pt u1t ① s 结构型： Qt 1 2 Pt u2 t ② d s Q Q ③ t t27

　　2.恰好识别定义：如果结构型模型中的某个方程的参数估计 值能够由简化型模型参数的估计值唯一求解出， 则称该方程是恰好识别的。例2:商品需求与供给 Qtd 1 2 Pt u1t ① s Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t ② d s Q Q ③ t t

　　Pt 1: 商 品 上 一期的 价格

　　Qtd 1 2 Pt u1t ① s Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t ② d s Q Q ③ t t 利用①②和③可得： 1 2 Pt u1t 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t

　　3 u2 t u1t 1 1 ④ Pt Pt 1 2 2 2 2 2 2将④代入①中可得：

　　2 u2t 2 u1t 2 1 1 2 2 3 Qt Pt 1 ⑤ 2 2 2 2 2 2从而简化型： Pt 11 12 Pt 1 v1t

　　Qt 21 22 Pt 1 v 2 t

　　Pt 11 12 Pt 1 v1t 简化型： Qt 21 22 Pt 1 v 2 t

　　1 1 其中， 11 2 2 3 12 2 2

　　⑥ ⑦

　　2 1 1 2 21 2 2 2 3 22 2 2

　　⑧ ⑨

　　11, 12, 21, 22 利用OLS法估计出简化型模型的参数

　　, , 1, 2, 再利用上述四个方程，不能求出全部五个未知数 1 2 3

　　22 但利用⑦和⑨可得： 2 12

　　再利用⑥和⑧可得： 1 21 2 1130

　　恰好可识别

　　Qtd 1 2 Pt u1t ① s 结构型： Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t ② d s Q Q ③ t t

　　在供给方程中增加了一个变量，使得需求方程可 识别了！那么，如果我们在需求方程里也增加一 个新的变量，是否供给方程也会变得可以识别呢？

　　例3:商品需求与供给 Qtd 1 2 Pt 3 I t u1t ① I t: 消 费者 s 收 入水 平 Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t ② d s Q Q ③ t t利用①②和③可得：

　　1 2 Pt 3 I t u1t

　　1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t 3 3 u2 t u1t 1 1 Pt It Pt 1 2 2 2 2 2 2 2 2将④代入①中可得： 2 3 2 u2t 2 u1t 2 1 1 2 3 2 Qt It Pt 1 2 2 2 2 2 2 2 2

　　④

　　⑤32

　　Pt 11 12 I t 13 Pt 1 v1t 从而简化型： Qt 21 22 I t 23 Pt 1 v 2 t

　　1 1 其中， 11 2 2 3 12 2 2 3 13 2 2

　　⑹ ⑺ ⑻

　　2 1 1 2 21 2 2 3 2 22 2 2 2 3 23 2 2

　　⑼ ⑽ ⑾

　　11, 12, 13, 21, 22 23 利用OLS法估计出简化型模型的参数

　　, , 1, 2, 3, 再利用上述六个方程，可以唯一求出六个未知数 1 2 3从而，联立方程组模型中的每一个方程都是恰好识别的，即：联立 方程组模型恰好识别。 33

　　1 1 11 2 2 3 12 2 2 3 13 2 2

　　⑹ ⑺ ⑻

　　2 1 1 2 21 2 2 3 2 22 2 2 2 3 23 2 2

　　⑼

　　⑽⑾

　　22 利用⑺和⑽可得： 2 12 23 利用⑻和⑾可得： 2 13

　　⑹ 2-⑼可得： 1 21 2 11 ⑺ 2-⑽可得： 3 22 2 12 ⑹ 2-⑼可得： 1 21 2 1134

　　⑻ 2-⑾可得： 3 23 2 13

　　如果联立方程组模型中的某个结构型方程中缺少 一个其他方程中含有的变量，则该结构方程就 恰好可识别！那么，如果缺少两个或更多个呢？

　　3.过度识别定义：如果结构型模型中某个方程的参数估计值 能够由简化型模型参数估计值求解出，但求解 出的值不唯一，则称该方程是过度识别的。例4:商品需求与供给 Qtd 1 2 Pt 3 I t 4 Rt u1t ① Rt: 消 费者 拥 s 有 的财 产 ② Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t d s Q Q ③ t t

　　Qtd 1 2 Pt 3 I t 4 Rt u1t ① s ② Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t d s Q Q ③ t t利用①②和③可得： 1 2 Pt 3 I t 4 Rt u1t 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t

　　3 3 u2 t u1t 1 1 4 Pt It Rt Pt 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

　　④

　　将④代入①中可得： 2 3 2 u2t 2 u1t 2 1 1 2 3 2 4 2 Qt It Rt Pt 1 2 2 2 2 2 2

　　2 2 2 2

　　⑤

　　Pt 11 12 I t 13 Rt 14 Pt 1 v1t 从而简化型： Qt 21 22 I t 23 Rt 24 Pt 1 v 2 t37

　　Pt 11 12 I t 13 Rt 14 Pt 1 v1t 简化型： Qt 21 22 I t 23 Rt 24 Pt 1 v 2 t其中， 11 12 13 14 1 1 2 2 3 2 2 4 2 2 3 2 2

　　⑹ ⑺ ⑻ ⑼

　　21 22 23 24

　　2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 2 2 3 2 2

　　⑽ ⑾ ⑿ ⒀

　　11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24 利用OLS法估计出简化型模型的参数

　　, , 1, 2, 3, 4, 再利用上述八个方程，求出七个未知数 1 2 3则可能有多个解，从而联立方程组模型中某个或某些方程可能是 过度识别的。 38

　　三、联立方程组模型识别的方法1.模型识别的阶条件

　　2.模型识别的秩条件

　　1.模型识别的阶条件思想：一个结构型方程的识别取决于不包含在这 个方程中，而包含在模型其他方程中变量的个 数。 假设：模型中共有M个方程，其中M个内生变量， K个前定变量；第i个方程中包含mi个内生变量， ki个前定变量。 阶条件：当一个结构型方程中不包含的变量(包 括内生和前定)的总个数，大于或等于模型中 内生变量总个数M-1时，该方程可能可识别。40

　　阶条件

　　( M K ) (mi ki ) M 1

　　K ki mi 1 (一个结构型方程中不包含的前定变量个数，大 于或等于该方程中的内生变量个数减1) K k i m i 1 第i个方程可能恰好识别 K ki mi 1 K k i m i 1 第i个方程可能过度识别 K k i m i 1 第i个方程不可识别注意：模型识别的阶条件是一必要条件，而非充分 条件！ 41

　　K ki mi 1d Q 例1: t 1 2 Pt u1t s Qt 1 2 Pt u2 t d s Q Q t t

　　0 0 2 1 不可识别0 0 2 1 不可识别

　　Qtd 1 2 Pt u1t 例2 : 1 0 2 1 可能恰好识别 s Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t 1 1 2 1 不可识别 d s Q Q t t

　　K ki mi 1d Q t 1 2 Pt 3 I t u1t 例3 : s Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t d s Q Q t t

　　2 1 2 1 可能恰好识别2 1 2 1 可能恰好识别

　　例4 : Qtd 1 2 Pt 3 I t 4 Rt u1t 3 2 2 1 可能恰好识别 s Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 u2 t d s Q Q t t

　　3

　　1 2 1 可能过度识别

　　练 习K ki mi 1 Yt C t I t Gt C t 1 2Yt 3Tt u1t I t 1 2Yt 3Yt 1 u2 t Tt 1 2Yt u3 t税收

　　2 0 3 1 可能恰好识别2 1 2 1 可能恰好识别2 0 2 1 可能过度识别

　　2.模型识别的秩条件在有M个内生变量M个方程的完整联立方程组模型 中，当且仅当一个方程中不包含但在其他方程 中包含的变量(内生和前定)的结构参数，至 少能够构成一个非零的M-1阶行列式时，该方 程是可以识别的。等价定义：当且仅当一个方程所排斥的变量的结 构参数矩阵的秩等于M-1时，该方程可以识别。 模型识别的秩条件是充分必要条件。45

　　Y X U

　　结构型模型标准形 式的矩阵表示

　　假设：矩阵 0 , 0 为结构型模型第i个方程中没有包 含的内生变量和前定变量系数所构成的矩阵。则： rank 0 , 0 M 1等价于：至少有一 个M-1阶非零行列式 只有一个M-1阶非零行列式时，该方程恰好识别；

　　该方程可识别

　　有不止一个M-1阶非零行列式时，该方程过度识别；不存在M-1阶非零行列式时，该方程不可识别。46

　　运用秩条件判别模型识别性的步骤

　　将结构型模型转变为结构型模型的标准形式，并将全 部参数列成完整的参数矩阵 考察第i个方程的识别问题：划去参数矩阵中该方程的 那一行，并划去该方程出现的变量的系数所在列，余 下该方程不包含的变量在其他方程中的系数矩阵，记 0 , 0 为： 计算 rank 0 , 0 ,检验所余系数矩阵 0 , 0 的秩， 看是否等于M-1 判断。如果 rank 0 , 0 M 1 ,则该方程可识别。 再根据非零行列式的个数，来判断是恰好识别还是过 度识别。47

　　Yt C t I t Gt 例： C t 1 2Yt 3Tt u1t I t 1 2Yt 3Yt 1 u2 t Tt 1 2Yt u3 tYt C t I t 0 Tt 0 1 Gt 0 Yt 1 0

　　结构型模型 的标准形式

　　2Yt C t 0 I t 3Tt 1 0 Gt 0 Yt 1 u1t 2Yt 0 C t I t 0 Tt 1 0 Gt 3Yt 1 u2 t 2Yt 0 C t 0 I t Tt 1 0 Gt 0 Yt 1 u3 t

　　Yt

　　Ct

　　It

　　Tt

　　1 0 1 1 1

　　Gt 1 0 0 0

　　Yt 1 0 0 3 0

　　1 2 , 2 2

　　1 1 0 1 0 3 0 0 1 0 0 1

　　考察第2个方程，划去第2行，及第1、2、4、5列，则：Yt 1 2 2

　　2 Ct It Tt 1 0 1 1 1 Gt 1 0 0 0 Yt 1 0 0 3 0 1 1 0 1 0 3 0 0 1 0 0 1

　　0 1 1 0 , 0 1 0 3 0 0 0

　　rank 0 , 0 2 M 1(4 1 3)

　　第2个方程不可识别49

　　考察第3个方程，划去第3行，及第1、3、5、7列，则：Yt 1 2 2 2 Ct It Tt 1 0 1 1 1 Gt 1 0 0 0 Yt 1 0 0 3 0 1 1 0 1 0 3 0 0 1 0 0 1

　　0 1 0 , 0 1 3 1 0

　　1 0 0

　　rank 0 , 0 3 M 1(4 1 3)

　　第3个方程可识别50

　　又因为只有一个3阶非零行列式，故第3个方程恰好识别。

　　考察第4个方程，划去第4行，及第1、4、5列，则：Yt 1 2 2 2 Ct It Tt 1 0 1 1 1 Gt 1 0 0 0 Yt 1 0 0 3 0 1 1 0 1 0 3 0 0 1 0 0 1

　　0 1 1 1 0 , 0 1 0 0 0 1 0 3 0

　　rank 0 , 0 3 M 1(4 1 3)

　　第4个方程可识别51

　　又因为3阶非零行列式不止一个，故第4个方程过度识别。

　　0 1 1 1 0 , 0 1 0 0 0 可以构成的3阶行列式有： 1 0 3 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 3 1 0 0 0 0 0 352

　　0 3

　　0 1

　　0 0

　　0 3

　　只有一个取值为0,即：

　　1 1 0 1 0 0

　　3.阶条件和秩条件结合运用阶条件 K ki mi 1 是 否K ki mi 1

　　不可识别

　　秩条件是 阶条件 K ki mi 1 是 恰好识别

　　否

　　rank ( 0 , 0 ) M 1 rank ( , ) M 1 0 0

　　不可识别

　　否K ki mi 1

　　过度识别

　　练习判断下述宏观经济模型中每一个方程的识别性 Yt C t I t Gt X t 净出口 C t 1 2Yt u1t I Y Y u 1 2 t 3 t 1 2t t

　　第三节 联立方程组模型的估计不可识别的方程 无法估计

　　恰好识别的方程过度识别的方程

　　间接最小二乘法两阶段最小二乘法