_2012级线性代数B1答案

试 题 答 案A

2012——2013学年第1学期

课程名称： 线性代数 使用班级： 2012级理工科本科 命题系别： 数学学院_ __ 命题人：

一、

?abbdbf

ac?cdcf

ae?ef

?bb

c?cc

ee?e11?1

(2分)(3分)

de?adfb(3分)

?11

?adfbce1?1

1

1

?111

?abcdef002

?4abcdef

20

(2分)

D的第3列所得的行列式，即 二、A13?3A23?2A33?2A43 等于用1,3，-2,2代替

3

A13?3A23?2A33?2A43?

?5

213

110?51

12

(4分)

3?4?2?121

?32

?82?6

?802?6???2?2?120?2?1

1677

16077

?614?6

?614

??00?1??

23?7

23?77?280

- 1 -

(2分)

(2分)

(2分)

试 题 答 案A

三、

3AB?4A?A(3B?4E)

??A???123??100???3???1?24???????4?01001??

???051????0????

??A??16

9???3?1012?????111???11?1???169????3?1012???015?1??

???1?11????015?1????41120?????4?1922????231?4??

?123??1BAT?BA????1?24??11???11?1?

??051???

??1?11??

?602????1?75????64?4??

41?2

四、 由A=2

21?1?0知，A可逆， 31?1

又由AC?B可知，C?A?1

B。于是 (3?41?21?3??0?1?2?2?

(A|B)??

?2

21|22?21|22?

??31?13?1???

1

??2

???3

1?13?1????10?1?2?2?0?1?2?2?

???023|66??????

1

?0

0?1|?12?4?

?01295????01295???

- 2 -

(1分)(1分)

(2分)

(2分)

(2分)

(2分)

分)

(2分)

(1分)

试 题 答 案A 102??100102??100??????001|124???010|?15?3??010??15?3?124????001?(2分)

2??10???1所以C?AB???15?3? (2分) ??124??

1?1?1

五、 D?2?1?3?3?0 (332?5

3?1?113?11?1D1?2?1?3?21,D2?22?3?0,D3?2?112?531?532所以xD131?D?21

3?7,xDD12

2?2

D?0,x3?D?3?4 (4注：写出xD

i?i

D,(i?1,2,3)可给2分

六、 由A2?A?6E?0知，A(A?E)?A2?A?6E (2?A?1

6(A?E)?E， 所以A?1?1

6(A?E) (2又由A2?A?6E?0得，(A?2E)(A?E)?4E?0 (2?(A?2E)?1

4(A?E)?E (或?(A?2E)(A?E)?4E) 所以(A?2E)?1?1

4(A?E) (2

- 3 - 分) 32?12 (3分) 1分) 分) 分) 分) 分)

试 题 答 案A

七、 对增广矩阵B施行初等行变换

?1005??1005?

B??A|b???

1?21

121??112?9?

??

53223???

1

??0

???0

?222?22???

?1105?005??101??

0?0?112?9??10?13?????

11?0?1

???0?01?10?000?2?4????00

012????0001R(A)?R(B)?3，故原方程组有解，且对应的方程组为

??

x1??x3?8

?x2?x3?13 ?

?x4?2

令x3?0，得原方程组的一个特解?0???8,13,0,2?T

(3??x1??x3在对应的齐次线性方程组?

?x?

2?x3中，

??x4

?0令x3?1，得一个基础解系?1???1,1,1,0?T

(2??x1?从而原方程组的通解为

?x????8?????1?2????13??k?1??(k?R) ?x,3??x???0??1?4??2??

??0??八、 记A??a1,a2,a3,a4,a5?，对矩阵A施行初等行变换：

??

20

340?A??

1?2041????1230?1??123??0?3?13?1????

11112???11112??

?00?4?0?1??21

23

3????01?1?13???2?01?1- 4 -

?8 (3分)

?

13?

2?

??

分)

分)

(2分)

0?1?08??

13? ?13??

试 题 答 案A ?1?0???0??0230?1??1??0?408??0?0?306??0??1?1?13??0052?7??1??1?1?13??0?010?2??0??0000??00100023??0?11? (3分) 10?2??000?所以R(A)?3，该向量组A是线性相关的 (2分)

(2)a1?(2,1,1,2)T,a2?(0,?2,1,1)T,a3?(3,0,1,2)T为A的一个极大无关组， (3分) 且a4?2a1?a2，a5?3a1?a2?2a3。 (2分)

九、 由矩阵A与B相似可知，?E?A??E?B，即 (2分)

00

?4 (2分)

??b??20000??200?1??1??a???32

于是 ?(??2)(??a)?(??2)?(??2)(??3)(??b)?8(??2)

即 (??2)(??a??1)?(??2)(??(3?b)??3b?8) (2分) 比较等式两边的?系数可得，?22?a?3?b (2分)

?3b?8??1

所以a?0,b??3 (2分)

?200???十、 二次型f对应的矩阵A??032?， (2分) ?023???

??2

?E?A?0

000?2?(??2)(??5)(??1)?0 ??3??3?2

从而矩阵A的特征值为?1?2,?2?5,?3?1 (3分)

- 5 -