_2012级线性代数B1答案
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_2012级线性代数B1答案
试 题 答 案A
2012——2013学年第1学期
课程名称: 线性代数 使用班级: 2012级理工科本科 命题系别: 数学学院_ __ 命题人:
一、
?abbdbf
ac?cdcf
ae?ef
?bb
c?cc
ee?e11?1
(2分)(3分)
de?adfb(3分)
?11
?adfbce1?1
1
1
?111
?abcdef002
?4abcdef
20
(2分)
D的第3列所得的行列式,即 二、A13?3A23?2A33?2A43 等于用1,3,-2,2代替
3
A13?3A23?2A33?2A43?
?5
213
110?51
12
(4分)
3?4?2?121
?32
?82?6
?802?6???2?2?120?2?1
1677
16077
?614?6
?614
??00?1??
23?7
23?77?280
- 1 -
(2分)
(2分)
(2分)
试 题 答 案A
三、
3AB?4A?A(3B?4E)
??A???123??100???3???1?24???????4?01001??
???051????0????
??A??16
9???3?1012?????111???11?1???169????3?1012???015?1??
???1?11????015?1????41120?????4?1922????231?4??
?123??1BAT?BA????1?24??11???11?1?
??051???
??1?11??
?602????1?75????64?4??
41?2
四、 由A=2
21?1?0知,A可逆, 31?1
又由AC?B可知,C?A?1
B。于是 (3?41?21?3??0?1?2?2?
(A|B)??
?2
21|22?21|22?
??31?13?1???
1
??2
???3
1?13?1????10?1?2?2?0?1?2?2?
???023|66??????
1
?0
0?1|?12?4?
?01295????01295???
- 2 -
(1分)(1分)
(2分)
(2分)
(2分)
(2分)
分)
(2分)
(1分)
试 题 答 案A 102??100102??100??????001|124???010|?15?3??010??15?3?124????001?(2分)
2??10???1所以C?AB???15?3? (2分) ??124??
1?1?1
五、 D?2?1?3?3?0 (332?5
3?1?113?11?1D1?2?1?3?21,D2?22?3?0,D3?2?112?531?532所以xD131?D?21
3?7,xDD12
2?2
D?0,x3?D?3?4 (4注:写出xD
i?i
D,(i?1,2,3)可给2分
六、 由A2?A?6E?0知,A(A?E)?A2?A?6E (2?A?1
6(A?E)?E, 所以A?1?1
6(A?E) (2又由A2?A?6E?0得,(A?2E)(A?E)?4E?0 (2?(A?2E)?1
4(A?E)?E (或?(A?2E)(A?E)?4E) 所以(A?2E)?1?1
4(A?E) (2
- 3 - 分) 32?12 (3分) 1分) 分) 分) 分) 分)
试 题 答 案A
七、 对增广矩阵B施行初等行变换
?1005??1005?
B??A|b???
1?21
121??112?9?
??
53223???
1
??0
???0
?222?22???
?1105?005??101??
0?0?112?9??10?13?????
11?0?1
???0?01?10?000?2?4????00
012????0001R(A)?R(B)?3,故原方程组有解,且对应的方程组为
??
x1??x3?8
?x2?x3?13 ?
?x4?2
令x3?0,得原方程组的一个特解?0???8,13,0,2?T
(3??x1??x3在对应的齐次线性方程组?
?x?
2?x3中,
??x4
?0令x3?1,得一个基础解系?1???1,1,1,0?T
(2??x1?从而原方程组的通解为
?x????8?????1?2????13??k?1??(k?R) ?x,3??x???0??1?4??2??
??0??八、 记A??a1,a2,a3,a4,a5?,对矩阵A施行初等行变换:
??
20
340?A??
1?2041????1230?1??123??0?3?13?1????
11112???11112??
?00?4?0?1??21
23
3????01?1?13???2?01?1- 4 -
?8 (3分)
?
13?
2?
??
分)
分)
(2分)
0?1?08??
13? ?13??
试 题 答 案A ?1?0???0??0230?1??1??0?408??0?0?306??0??1?1?13??0052?7??1??1?1?13??0?010?2??0??0000??00100023??0?11? (3分) 10?2??000?所以R(A)?3,该向量组A是线性相关的 (2分)
(2)a1?(2,1,1,2)T,a2?(0,?2,1,1)T,a3?(3,0,1,2)T为A的一个极大无关组, (3分) 且a4?2a1?a2,a5?3a1?a2?2a3。 (2分)
九、 由矩阵A与B相似可知,?E?A??E?B,即 (2分)
00
?4 (2分)
??b??20000??200?1??1??a???32
于是 ?(??2)(??a)?(??2)?(??2)(??3)(??b)?8(??2)
即 (??2)(??a??1)?(??2)(??(3?b)??3b?8) (2分) 比较等式两边的?系数可得,?22?a?3?b (2分)
?3b?8??1
所以a?0,b??3 (2分)
?200???十、 二次型f对应的矩阵A??032?, (2分) ?023???
??2
?E?A?0
000?2?(??2)(??5)(??1)?0 ??3??3?2
从而矩阵A的特征值为?1?2,?2?5,?3?1 (3分)
- 5 -
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