专题二 中考数学压轴题函数平行四边形问题

专题二 中考数学压轴题函数平行四边形问题

中考数学压轴题函数平行四边形问题

1 、

已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y?3x?3的图像与y轴交于点A，4

点M在正比例函数y?3x的图像上，且MO＝MA．二次函2

数

y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上

3述二次函数的图像上，点D在一次函数y?x?3的图像上，且四边形ABCD是菱形，4

求点C的坐标．

图1

思路点拨

1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．

2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．

3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．

具体解答

（1）当x＝0时，y?3x?3?3，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．

4

专题二 中考数学压轴题函数平行四边形问题

如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为3．将2y?3代入y?3x，得x＝1．所以点M的坐标为(1,3)．因此AM?． 222

?c?3,35（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M(1,)，所以?解得，b???3221?b?c?.??2

c?3．所以二次函数的解析式为y?x2?5x?3． 2

（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E． 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．

因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入y?x2?5x?3，2

1得3?2m?16m2?10m?3．解得m?或者m＝0（舍去）． 2

因此点C的坐标为（2，2）．

图2 图3

2 、

将抛物线c1

：y?2x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．

（1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

专题二 中考数学压轴题函数平行四边形问题

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．

2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．

3．根据矩形的对角线相等列方程．

具体解答

（1）抛物线c2

的表达式为y?2

（2）抛物线c1

：y?2x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，

顶点为． 抛物线c2

：y2x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，

顶点为(0,． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M

的坐标为(?m，与x轴的两个交点为A(?1?m,0)、B(1?m,0)，AB＝2．

专题二 中考数学压轴题函数平行四边形问题

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N

的坐标为(m,，与x轴的两个交点为D(?1?m,0)、E(1?m,0)．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

情形一，如图2，B在D的左侧，此时AB?1AE?2，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解3

得m＝2．

情形二，如图3，B在D的右侧，此时AB?2AE?2，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解3

1得m?．

2

图2 图3 图4

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．

3 、

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

专题二 中考数学压轴题函数平行四边形问题

图1 图2

思路点拨

1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．

2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．

3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．

具体解答

(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得a?1112．所以抛物线的解析式为y?(x?4)(x?2)?x?x?4． 222

(2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那2么MD?(?m?4)?(m?m?4)??1

212m?2m．所以 2

S?S?MDA?S?MDB?1MD?OA??m2?4m??(m?2)2?4． 2

因此当m??2时，S取得最大值，最大值为4．

(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4．