专题六 中考数学压轴题函数相似三角形问题
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专题六 中考数学压轴题函数相似三角形问题
专题六 中考数学压轴题函数相似三角形问题
中考数学压轴题:函数相似三角形问题
1、直线y??1x?1分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋3
转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.
(1) 写出点A、B、C、D的坐标;
(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;
(3) 在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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图1
思路点拨
1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角.
2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标.
3.第(3)题判断∠ABQ=90°是解题的前提.
4.△ABQ与△COD相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形,点Q共有4个.
具体解答
(1)A(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-1,0).
(2)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、C(0,3)、D(-1,0) 三点,所以?9a?3b?c?0,?a??1,? 解得??c?3,?b?2,
?a?b?c?0.?c?3.??
专题六 中考数学压轴题函数相似三角形问题
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点G的坐标为(1,4).
(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD//BG.
因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB⊥CD.因此AB⊥BG,即∠ABQ=90°.
因为点Q在直线BG上,设点Q的坐标为(x,3x+1),
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看那么BQ?. Rt△COD的两条直角边的比为1∶3,如果Rt△ABQ与Rt△COD相似,存在两种情况: ①当BQ?
内容需要下载文档才能查看3?3.解得x??3.所以Q1(3,10),Q2(?3,?8). BA②当BQ?
内容需要下载文档才能查看1?1.解得x??1.所以Q3(1,2),Q4(?1,0).
内容需要下载文档才能查看BA33333
图2 图3
.
2、
Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数y?k(k?0)在第一象限内的图像与BC边交于点x
D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2.
(1)求m与n的数量关系;
(2)当tan∠A=1时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式; 2
专题六 中考数学压轴题函数相似三角形问题
(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在(2)的条件下,如果△AEO与△EFP 相似,求点P的坐标.
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图1
思路点拨
1.探求m与n的数量关系,用m表示点B、D、E的坐标,是解题的突破口.
2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是FD//x轴.
3.如果△AEO与△EFP 相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况. 具体解答
(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数y?k的图像上,所以x
?4m?k, 整理,得n=2m. ?2n?k.?
(2)如图2,过点E作EH⊥BC,垂足为H.在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠A=1,EH=2,所以BH=1.因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1). 2
已知△BDE的面积为2,所以11BD?EH?(m?1)?2?2.解得m=1.因此D(4,22
1),E(2,2),B(4,3).
因为点D(4,1)在反比例函数y?
析式为y?k的图像上,所以k=4.因此反比例函数的解x4. x
设直线AB的解析式为y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2),得?4k?,b?3?1 解得k?,22k?.b?2?
b?1.
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因此直线AB的函数解析式为y?
1x?1.
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图2 图3 图4
(3)如图3,因为直线y?1x?1与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,2
1),所以FD// x轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况:
①如图3,当EAEF?
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看.解得FP=1.此时点P的坐标为(1,1). ?AOFPEAFP?
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1). ?AOEF②如图4,当
3、
如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
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图1 图2
思路点拨
1.第(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.
2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.
3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.
具体解答
(1)抛物线的对称轴为直线x?1,解析式为y?1211 x?x,顶点为M(1,?).848
2(x1?1?x2?1)???3(x1?x2)?6,由此得到2
s12111x1?x2??2.由于y2?y1?3,所以y2?y1?x2?x2?x12?x1?3.整理,得38484(2) 梯形O1A1B1C1的面积S?
721??1. (x2?x1)?(x2?x1)???3.因此得到x2?x1?S84???x2?x1?14,?x1?6, 解得? 此时点A1的坐标为(6,3). x?x?2.x?8.?21?2当S=36时,?
(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.
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