竞赛专题_求递推数列通项的特征根法
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竞赛专题_求递推数列通项的特征根法
专题 求递推数列通项的特征根法
一、形如an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的数列 形如a1?m1,a2?m2,an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2?px?q…① 若①有二异根?,?，则可令an?c1?n?c2?n(c1,c2是待定常数） 若①有二重根???，则可令an?(c1?nc2)?n(c1,c2是待定常数） 再利用a1?m1,a2?m2,可求得c1,c2，进而求得an 例1 已知数列{an}满足a1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*)，求数列{an}的通项an 解：其特征方程为x2?3x?2，解得x1?1,x2?2，令an?c1?1n?c2?2n，
?c1?1?a1?c1?2c2?2?n?1由?，得?1， ?an?1?2 c2??a2?c1?4c2?3??2
例2已知数列{an}满足a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an(n?N*)，求数列{an}的通项an
1?1?解：其特征方程为4x?4x?1，解得x1?x2?，令an??c1?nc2???， 2?2?2n
1?a?(c?c)??1112??c1??43n?2?2由?，得?， ?an?n?1 2?c2?6?a?(c?2c)?1?2212??4
二、形如an?2?Aan?B的数列 Can?D
Aan?B，a1?m,n?N*(A,B,C,D是常数且C?0,AD?BC?0） Can?D
Ax?B，变形为Cx2?(D?A)x?B?0…② Cx?D 对于数列an?2? 其特征方程为x?
若②有二异根?,?，则可令
值可求得c值。 an?1??a???c?n其中c是待定常数），代入a1,a2的an?1??an??
?a???a1?? 这样数列?n，公比为c的等比数列，于是这样可求得an ?是首项为a1???an??? 若②有二重根???，则可令
的值可求得c值。 11，代入a1,a2??c（其中c是待定常数）an?1??an??
?1?1 这样数列?，公差为c的等差数列，于是这样可求得an ?是首项为an???an???例3已知数列{an}满足a1?2,an?an?1?2(n?2)，求数列{an}的通项an 2an?1?1
解：其特征方程为x?
由a1?2,得a2?x?2a?1a?1，化简得2x2?2?0，解得x1?1,x2??1，令n?1 ?c?n2x?1an?1?1an?141，可得c??， 53
n?1?a?1?a?11?1?1a?11??????数列?n?是以1?为首项，以?为公比的等比数列，?n
a?1a?13?3?3a?13n?n?1，
3n?(?1)n
?an?nn3?(?1)
例4已知数列{an}满足a1?2,an?1?
解：其特征方程为x?2an?1(n?N*)，求数列{an}的通项an 4an?612x?1，即4x2?4x?1?0，解得x1?x2??，令24x?611an?1?2?11an?2?c 由a1?2,得a2?3，求得c?1， 14
???1?12是以?数列??为首项，以1为公差的等差数列，?15?an??a1??2?2
123???(n?1?)?1n?， 55an?2
13?5n?an? 10n?6
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