线代习题册(解答2)

第二章 §2.1 矩阵

一．将左侧名称与右侧合适的矩阵相连: 1．行矩阵(F); 2．列矩阵(D); 3．零阵(E); 4．方阵(ABC);5．单位矩阵(C); 6．数量矩阵(ABCDEF); 7．对角矩阵(ABC)

200 300

10 3 000

A． 050 ; B． 030 ;C． ; D．;E． ; F．(1

010005 003 007

23).

§2.2 矩阵的运算

1 23 11 1 T

一．设A 11 1 B 1 24 求3AB 2A及(AB)T.

1 11 051

111 123 058 111 21322

解：3AB 2A 3 11 1 1 24 3 0 56 2 11 1 2 1720

1 11 051 290 1 11 429 2

AB

T

T

111 123 058 002 11 1 1 24 0 56 5 59 1 11 051 290 860

TT

二．计算

15 1 123 1 46 3 21

24 2123 2461232 14; 1. ; 2. ; 3.

1 12 3 1 7 1 3 369 3

4.A3 5,求2A.解：2A 2|A| 40

3

5. 已知 12

1

3 , 1

2

1T

3 1 2

123

1 22T

321AA，令，求.=A 3 321 123 123

1 2 21 ;A 3 21 3 321

321

解：A 12

T

T

三．设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明：BAB也是对称矩阵.

证明：(BTAB)T BTAT(BT)T BTAB。

§2.3 逆矩阵

一．求下列矩阵的逆矩阵 1．A

2 54 2 4 1 1

。解：A AA| 2) 32 352 2

A21A22A23

2

A31 420 A32 136 1

10 2 A33 3214 2

23 2

2 167 1

A11

A12

12 1

AA 1

132．A 34 2 。解：A |A| 5 41

25 4 6 二．解矩阵方程： X

1321

25 4 6 3 5 4 6 2 23

解：X

13 21 12 21 08

三．设PAP ，其中P

1 1

1

1 4 10 11

A ，，求. 1 1 02

1

解：由PAP ，有A P P,故

1313

1 4 10 141 24 2 27312732 11111 1

A P P 11 1113 1102 1 1 683 6843 1 2 4 2

2 1 0 2

四．设矩阵X满足X 2A B X，求X.其中A 12 ，B 20

解：X A 2

2 1 0 2 2 2

2 .

12 20 22

1

五．设A为4阶矩阵， A ，求3A 4A解：3A 4A

1

.

1

3AA 1 4A 1 A 1 4A 1 3A 1 ( 3)4A 1 34A

1

35.

2 1

六．设方阵A满足A A 2E 0，证明：A及A 2E都可逆 并求A及(A 2E). 2

解：由A A 2E 0有A(A E) 2E，知A可逆，且A (A E)2；

1

又由0 A2 A 2E A2 A 6E 4E (A 2E)(A 3E) 4E,有(A 2E)(A 3E) 4E， 即(A 2E)[(3E A)4] E，则A 2E可逆，且(A 2E) (3E A)4。

1

§2.4 矩阵分块法

一．设A是3阶矩阵，且detA 2，若将A按列分块A (A1,A2,A3)，其中Aj为A的第j列，（j 1,2,3 ），求下列行列式：

1．A,2A3,A2 A1,A2,2A3 2A1,A2,A3 2 ( 2) 4； 1

2．A3 2A,3A2,A1 A3,3A2,A1 2A1,3A2,A1 3A1,A2,A3 6 。 1二．求下列矩阵的逆矩阵

5

2

解：A=

0 0

2100

52 1 1 200 00

21 250000 1 ，解：A 1 1 2 1 2 003

00 11 11

34

4 3

三．设A

00

00

0022

0 0 34 20 48

，求A及A. 令A1 ,A 2 0 4 3 22 2

882816

解：|A8| |A|8 (|A1| |A2|) (( 25) 4) (10) 10；

54000

4

25010100500 424444 A12 5E, A1 5E;A2 2 , A2 2 ,则A

00240 025 11 41

002624

自测题

一．设A,B,C均为n阶矩阵，且满足ABC E，则下列各式中哪些必定成立，理由是什么？ 1． BCA E； 2．BAC E； 3．ACB E； 4．CBA E； 5．CAB E.

1 1

解：由ABC E有A BC,C AB, 故1、5必成立。

二．设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中有哪些一定成立？为什么？ 1．(A 1) 1

(A)

T

T 1 1

； 2．(AT)T

(A

1

1 1T

)

；

3．(Ak) 1 (A 1)k （k为正整数）； 4． (kA) 1 k 1A 1 5．detA 1 (detA) 1 ； 6．(A B) 1 A 1 B 1； 7．(AB)

T 1

OA

(A 1)T(B 1)T ； 8． BO

T

1

1

O

B 1 A 1 . O

1 1TT 1

解： (A) A (A) 1成立； 3,4,5,7为性质，当然成立；

TT 1T 1 1 1 1 1(A) A A (A) 2不成立；(A B) A B没这话 6不成立；

1

T

8中A与B应换个位置 8不成立。 三．求解下列矩阵方程

1．

1 1

35 4 12

X 12 30 1

1

35 4 12 2 5 4 12 7 29 解：X

12 30 1 13 30 1 51 5 21 2 1 23

2． 23 X 1 61 1

21 23 2 1 1 3 1 23 11

解：X 8 22 61 1 2 23 61 11 1 08 11 12

8 168 1 2 34

1

1

010 1 1

3．AX B X，其中A 111 ,B 20

10 1 5 3

1 10 1 1 021 1 1 3 1 1

解： X (E A) 1B 10 120 32120 20

102 5 3 3 0 11 5 3 1 1

四．设A为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，且已知detA

*

1

1 1*

，求行列式(3A) 2A的值. 2

解：

2A* 2(|A|A 1) A 1, A) 1 2A*

1 1 2 1 216A A 1 A (32 33327

五．1．若n阶矩阵A满足A2 2A 4E 0，试证A 3E可逆，并求其逆.

2．若n阶矩阵满足A2 A E 0，试证A可逆，并求其逆矩阵.

解：1．

0 A2 2A 4E A2 2A 3E E, E A2 2A 3E (A 3E)(A E),

故A 3E可逆，且(A 3E) 1 A E。

2．

0 A2 A E, E A A2 A(E A), 故A可逆，且A 1 E A。