振动力学(高教版)部分课后习题答案

上传者：何洲平
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上传时间：2015-04-24
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振动力学(高教版)部分课后习题答案

1.1 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。

图E1.1

解：系统的动能为：

112

l 2 Ix m x22

其中I为杆关于铰点的转动惯量：

l mlm1

I 1dx x2 1x2dx 1l2

00l3 l

则有：

1221221 m1lx 3m m1 l2x 2 mlx266

系统的势能为：

U mgl 1 cosx m1g

1 cosx 2

111

mglx2 m1glx2 2m m1 glx2

244

nx和T U可得：利用x

32m m1g

23m m1l

1.2 质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

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图E1.2

解：

如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：

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1 21 1 23 2 IB mR2 mR2 mR2 22 24 122

U 2 k R a k R a 2

和T U可得：利用 n

4kR aR a4k

n 2

3mRR3m

1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴约束，如图E1.3所示。求系统的

固有频率。

图E1.3

解：系统的动能为：

1 2

J 2

k2和k3相当于串联，则有：

2 3 , k2 2 k3 3

以上两式联立可得：

k3k2

, 3 k2 k3k2 k3

系统的势能为：

1111 k k k k2k3 2

U k1 2 k2 22 k3 32 123

2222 k2 k3

和T U可得：利用 n

k2k3 k1k2 k3

Jk2 k31.4 在图E1.4所示的系统中，已知ki i 1,2,3 , m, a 和 b，横杆质量不计。求固有频率。

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mga

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图E1.4

答案图E1.4

解：对m进行受力分析可得：

mg k3x3，即x3

如图可得：

F1mgbFmga

, x2 2

k1a bk1k2a bk2

a x2 x1 a2k1 b2k2

x0 x1 x x1 mg 2

a ba bk1k2

a2k1 b2k21 1

x x0 x3 mg mg 2

kka bkk3 012

则等效弹簧刚度为：

a b k1k2k3

ke 2

ak1k3 bk2k3 a bk1k2

则固有频率为：

k1k2k3a b 2

mk1k2a b k3k1a2 k2b2

1.7 质量m1在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图E1.7所示。确定系

统由此产生的自由振动。

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图E1.7

解：

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答案图E1.7

对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：

m1gh

m1v12，即v1 2gh 2

对整个系统由动量守恒可得：

m1v1 m1 m2 v0，即v0

令m2引起的静变形为x2，则有：

2gh

m1 m2

m2gsin kx2，即x2

令m1+m2引起的静变形为x12，同理有：

x12

m2gsin

m1 m2 gsin

得：

x0 x12 x2

m1gsin

则系统的自由振动可表示为：

x x0cos nt

sin nt

其中系统的固有频率为：

m1 m2

注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：

x x0cos nt

sin nt

1.9 质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？

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图E1.9

解：利用动量矩定理得：

答案图E1.9

k a a c l l， I

I ml2 3

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23ka 3cl 3ka 0， ml n

ml2

3cl23c12amk

， 2 1 c n

ml22m nl3

lmgl

k 0a a， 0

22ka2

1.12 面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于

薄板的阻尼力为Fd 2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为T0，在粘性流体中自由振动的周期为Td。求系数。

图E1.12

解：平面在液体中上下振动时：

2 Sx kx 0 m x

，

mT0

d n 2

2 Td

2S22 S S2

2 n ，

kmm n

k 2S2

2 2 TdT0

k 2S22 m

d2 T02 kST0Td

2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知， 30 ，m = 1 kg，k

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