弯载下中长圆柱壳表面裂纹的线弹簧模型解_陈杨科

第 31 卷 第6期2014 年12月

应 用 力 学 学 报 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS

Vol.31 No.6Dec. 2014

文章编号：1000- 4939(2014) 06-0889-06

弯载下中长圆柱壳表面裂纹的线弹簧模型解

陈杨科1 何书韬2 郑绍文2

(1 海军装备部 驻武汉地区军事代表局 430064 武汉；2 中国舰船研究设计中心 430064 武汉)

摘要：针对含环向表面裂纹的中长圆柱壳，基于薄壳半膜力理论和线弹簧模型，导出了其在弯载

作用下的解析解，并给出了相应的表面裂纹前缘的应力强度因子的计算公式以及表面裂纹存在对整个圆柱壳柔度的影响的表达式。研究表明，对于中长圆柱壳中的较长裂纹，裂纹前缘最深点处的应力强度因子对裂纹前缘的形状并不敏感；相应的数值计算结果表明，本文的解与有限元结果的误差不超过3%。

关键词：中长圆柱壳；表面裂纹；线弹簧模型；弯载

中图分类号：O346.1 文献标识码：A DOI：10.11776/cjam.31.06.B116

1 引 言

中长圆柱壳(长度l超过半径R几倍以上的圆柱壳)是一类在海洋工程、石油化工、核工程等大型复杂结构中常见的基本构件。由于材质缺陷、焊接缺陷的客观存在以及实际外载荷的交变作用，常常会导致表面裂纹的形成。大量现场检测和事故分析结果表明，结构的最终破坏往往源于表面裂纹的扩展。因此，关于这类圆柱壳中的表面裂纹的断裂参数计算一直备受工程界的重视。

应力强度因子是线弹性断裂力学中一个重要的物理参量。表面裂纹问题属于三维裂纹问题，到目前为止还没有准确的解析解。采用三维有限元计算虽然能取得较好结果，但计算费用大、时间长[1-2]。从工程应用快速性的角度来讲，基于线弹簧模型的圆柱壳理论近似解析是一种相对简易且在一定范围内较为准确的方法。圆柱壳中的应力状态沿轴向和

环向的变化有快、慢之分，这是由圆柱壳的几何特性、作用在其上的外载荷状况、边界条件所决定的。根据圆柱壳的这些特点，由摄动理论可得到其在各种应力状态下的各次渐近方程。就中长圆柱壳而言，除了在两端边界附近存在的边界效应状态或者可能存在的扁壳效应状态(对于某些复杂的边界条件)外，基本应力状态已不再是无矩状态。取而代之的是一种半膜力状态，即沿圆柱壳的轴向仍以无矩状态为主，而沿环向则是弯曲与膜力状态同时存在。

由文献[3]的分析可知，圆柱壳中裂纹的长度决定了裂纹周围的应力状态。对于短裂纹，通常认为裂纹的影响范围与裂纹的长度在同一个量级，因此，裂纹周围的应力状态主要是扁壳效应状态。1982年，Delale和Erdogan[4]首次基于扁壳理论发表了圆柱壳表面裂纹的线弹簧模型解，其结果表现为奇异积分方程的求解，对于较短的表面裂纹，该模型解与相应的有限元解[5]吻合良好。而对于中长圆柱壳中的较长裂纹，除了裂纹尖端附近的极小区域之外，

基金项目：国家自然科学基金(50579023) 收稿日期：2013-11-13 修回日期：2014-10-07

第一作者简介：陈杨科，男，1982年生，硕士，海军装备部驻武汉地区军事代表局，工程师；研究方向——船舶与海洋工程结构物静动态响应。 通讯作者：何书韬，男，1981年生，博士，中国舰船研究设计中心，工程师；研究方向——船舶与海洋工程结构物静动态响应。 E-mail: heshutao6105@http://wendang.chazidian.com

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整个圆柱壳中大部分处于半膜力状态；另一方面，就表面裂纹来说，所关注的应力强度因子的最大值一般出现在表面裂纹前缘的中间最深点处，也就是说，忽略裂纹尖端附近极小区域处的扁壳效应对整个表面裂纹最大应力强度因子求解的影响很小。鉴于理论研究的完善以及工程应用的价值，寻求这类问题的理论解析是十分必要的。

对于线弹簧模型，穿透裂纹结构的解是构成相应的表面裂纹结构模型解的重要基础。文献[3,6]导出了含环向较长穿透裂纹的圆柱壳在受轴拉或纯弯载荷作用下的解析解。本文在此基础上，推导出相应的表面裂纹的线弹簧模型解，并给出了表面裂纹前缘的应力强度因子的计算公式以及由于表面裂纹存在对整个圆柱壳柔度的影响的表达式。

其中：E为杨氏模量；σ为参数应力。等式左边分别为相应的有因次量。另外，设量纲为一的载荷参数σB，其与弯矩M的关系为σB=MπR2hσ。 采用由Sanders提出的一套简单4阶复位移-应力函数形式的圆柱壳方程系统[7]，即

?????iε?2(1+2iε2)Ω′′=0 (4) ?4Ω+Ω式中：()′≡??z；(??)≡?θ。上述方程是基于

Kirchhoff-Love假定的圆柱壳精确方程，其误差量

级O(h/R)为薄壳理论本身的误差量级。设复特征函数Φ和φ，均满足方程(4)，且Φ′′=ε2?，则位移、应力函数、内力、内力矩可由特征函数表示如下[7]

????′?ε2μ?′ , ε2χ=?iΦ????′?iε2μ?′ ,ε2u=Φ

z

???????ε2(2+μ)???????+iε2(2?μ)???, ε2χθ=iΦ?? ,ε2v=?Φ

????+i(1+2iε2)? , ψ=iΦ????+(1+2iε2)? ,w=?Φ

???? , Mz=?i(?′′+μ?????) ,Nz=?

????+μ?′′) ,Nθ=?′′ , Mθ=?i(?

??′ ,Mzθ=?i(1?μ)???′            (5)Nzθ=??

上式中，所有量均只有实部具有物理意义。

2 模型、基本方程以及边界条件

2.1 解析模型和基本方程

如图1所示，中长圆柱薄壳受弯矩M作用，其作用方向取使裂纹张开的方向。圆柱壳半径为R，壳厚为h。设有一环向表面裂纹，其对应的圆心角为2α。裂纹截面处的无因次轴向坐标z = 0，距裂纹截面的轴向距离为zR，无因次环向坐标为θ。表面裂纹的深度为a，其为环向坐标θ的函数。

2.2 线弹簧模型

根据线弹簧模型的基本思想，图1所示的问题可以转化为含长为2α穿透裂纹的中长圆柱壳的边值问题，其受远端弯矩M作用。在截面上原表面裂纹段即0≤θ≤α上作用有一组分布的线弹簧，其本构

关系由相应位置的平面应变边裂纹板条(参见图2)所受的广义力与由于裂纹存在引起的广义位移之间的关系来确定，而在截面的其它非裂纹部分则为对称边界条件。这样，表面裂纹前缘各点的应力强度因子就

图1 解析模型 等于相应位置边裂纹板条的应力强度因子。 Fig.1 Analytic model

对于中长圆柱壳的定义，一个参考条件是圆柱壳的长度l大于下式右边表达式的相应值

l>Rε?1 (1)

这里圆柱壳几何参数ε为

?h

2

? (2) ?ε2=?121μ()?R?

式中μ为泊松比。无因次中面位移u、v、w，应力函数χz、χθ、ψ，内力Nz、Nθ、Nzθ以及内力矩Mz、Mθ、Mzθ的表达式分别如下

σR

()=(u,v,ε?2w),

E

图2 平面应变边裂纹板条

Fig.2 Edge of crack strip under plane strain condition

对于如图2所示的平面应变边裂纹板条，其广义力(z(θ)、z(θ))和广义位移(θ)、θ))之间的关系可基于能量原理由其应力强度因子表达式通过卡氏定理求得。

图2所示的平面应变边裂纹板条的应力强度因子为[8]

(z,θ,=σR2hε2(χz,χθ,ε?2ψ),(z,θ,zθ)=σh(Nz,Nθ,Nzθ),(z,θ,zθ)=σRhε2(Mz,Mθ,Mzθ)

KΙ=σNgN(ξ)+σMgM(ξ)] (6)

(3)

式中

ξ=a(θ)/h，σN=zh，σM=6z

2

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其中：σN和σM分别为厚度平均应力和名义弯曲应力；gN(ξ)和gM(ξ)的表达式如下

gN(ξ)=

gM(ξ)=(?1)上式对于任何ξ，其误差均小于0.5%。

ε2χz=sinθ∫(Tθsinη+ε2Vcosη)dη?∫Tθdη+

cosθ∫(Tθcosη?ε2Vsinη)dη=0

θ

θθ

(10)

ψ′=?sinθ∫(Tθsinη+ε2Vcosη)dη?

式中Tθ和V为无因次Kirchhoff边界载荷，其正方向如图3所示。这样，可将0≤<α段内的边界条件写为

cosθ∫(Tθcosη?ε2Vsinη)dη=0

θ

θ

(11)

1?μ2

由ΔU=

E

∫

a

KΙ2da，θ)=

?(ΔU)

，

?z(θ)

?χz=ψ′=0?

?u=ε(C11Nz+C12Mz)

(12) ?w′=?ε(CN+CM)

21z22z?

θ)=

?(ΔU)

可导出边裂纹板条由于裂纹引起的

?z(θ)

附加位移表达式为

2(1?μ2)

θ)=h[ANNσN(θ)+ANMσM(θ)] (7)

E12(1?μ2)

[AMNσN(θ)+AMMσM(θ)] (8) θ)=

E

式中

Aij=∫gi(ξ)gj(ξ)dξ ， (i, j = N, M)

图3 圆柱壳边界条件

Fig.3 Boundary conditions of cylindrical shell

ξ

2) 在无裂纹段α<≤π内，由对称边界条件有

将σN=zh和σM=6zh代入式(7)和式(8)，并利用=2σRuE、=2σφ化，则有

2

u=w′=0 ，χz=ψ′=0 (13)

将式(5)代入式(12)和式(13)，则可将边界条件用特征函数表达如下

????′?μ?′??Re{ε?2ΦCC

?

′′?????C?iC12?C?ε??(C11?iC12μ)??}=0

?

′?Re{(2+μ?iε?2)?C??

(14) ?ε?1?(C?iCμ)?????′′?=i?}0C?22C22C??12?

?ReiΦ????′+iε2μ?′}=0{CC?

?Re?1+iε22?μ??′=0

()?C

???

和

????′?ε2μ?′}=0?Re{ΦCC

?

?Re?i?ε2(2+μ)??′=0

??C?

(15) ?2????′′?Re{iΦC+iεμ?C}=0

?

′=0?1+iε2(2?μ)???C?Re?

?

式中：Re表示取括弧内变量的实部；下标C表示问题的完整解。

Eε)及式(3)无因次

2

u=ε(C11Nz+C12Mz),

φ=ε(C21Nz+C22Mz) (9)

式中

C11=(1?μ2)3/2ANN , C12=C21=6ε(1?μ2)ANM

,

C22=(1?μ2)1/2AMM

式(9)即为表面裂纹线弹簧的本构关系。显然，柔度系数C11、C12、C21、C22均是裂纹深度a和环向坐标θ的函数，且它们在数值上是同一量级。

{}

{{

}

2.3 边界条件

利用线弹簧模型，可将前述穿透裂纹边值问题的边界条件描述如下。

}

1) 在0≤<α段内，轴向位移和转角须满足线弹簧模型的本构关系；考虑对称性，在裂纹截面上环向的切力和径向的横剪力均为零，利用Sanders应力函数边界条件[9]可将其等效表达为

2.4 解的构成

从物理意义上讲，问题的完整解应该由裂纹所

892 应 用 力 学 学 报 第31卷

产生的特解(以下标S表示)和一些基本解构成。对于本文的解析模型，这些基本解的成分应该包含梁弯曲解、不产生位移的零解、不产生应力的刚体位移解等。若将上述基本解从完整解中分离出来单独考虑，则剩余的解即由裂纹存在所产生的特解，在无穷远处应该趋近于零。考虑到对于在同样的载荷水平和边界约束条件下的位移，含表面裂纹的圆柱壳要比含穿透裂纹的圆柱壳小得多，参考文献[3]，将刚体位移解和零解写为

????=iε2a(1+2iε2)?ε3bz(1+2iε2)+Φ

E

是指由半膜力解单独满足的边界条件不能超过两

个，这是由半膜力定解方程(21)的阶数所决定的。由于在无裂纹段α<≤π内不存在边界效应，则????=Φ????。 有?S=?SM，ΦSSM

3 求解及结果

????=Φ????代入式(18)，利用将?S=?SM+?EE，ΦSSM

iε2ccosθ+ε3dzcosθ (16)

?E=ε2a+iε3bz (17)

其中a、b、c、d均为未知复常数。这里，b和c分

别表征了圆柱壳沿轴向和横向的平动，而d则反映

这样可将问题的了圆柱壳绕θ = π/2所在轴的转动。

完整解表达如下

????=Φ????+Φ????+Φ???? ΦCBES,

?C=?B+?E+?S (18) ????为梁弯曲解，参考文献[10]，其表达式式中?、Φ

B

B

式(16)、式(17)、式(19)、式(20)，可将边界条件式(14)

以半膜力解和边界效应解的形式在一次近似的范围内(略去量级高于ε2的小量)表达。同理可将边界条件式(15)以半膜力解的形式在一次近似的范围内表

b、c、d的分段方程。达。这样可得到包含未知数a、

w和应力函数χz、χθ、ψ、ψ′在物理意义上，位移v、应在θ = α处连续，故可通过连续条件得到一组代

数方程组，由方程组求解，则可解出未知数，其详细求解方法参见文献[3]，解析结果如下。 1) 在0≤θ<α段内

如下

?EE(θ)=?i2ε2C12σBcosθ?1?

?

?

????=1?ε2z2cosθ+i(2cosθ?θsinθ)?σ (19) ΦB?B

2?

?B=?σBcosθ (20) 由摄动理论可知，圆柱壳的完整解通常可由边界效应解、扁壳解、半膜力解等几个解组合构成。由文献[3]的分析可知，对于中长圆柱壳，在裂纹相对较长(

量级为α=O

(23) ?

2) 在α<≤π段内

?

????(θ)=2i2ε2G+b+dcosθ+AΦSM?

(24)

)的条件下，除裂纹尖端

?

式中G(θ)满足如下微分方程

????(θ)=2i2ε2b+dcosθ+BΦSM?

(25) 附近的极小区域外，圆柱壳的大部分均处于半膜力状态，因此不考虑扁壳解，对整体结果的影响很小。因此，裂纹特解可由半膜力解(以下标SM表示)和

其相应的控制方边界效应解(以下标EE表示)构成，

程为[7]

????+Ω????(Ω)?iε?2Ω′′=0 (21) 和

2

??1????G+G=?C11σBcosθ (26) 2????(α)?αG(θ)dθ

(27) πb=?2G∫

??(α)cosα?2αG(θ)cosθdθ?πd=4G∫

??

????(α)?α?

(28) 4sinα?2G

????AΩ′′?iε?2Ω=0 (22)

????应为由文献[7]的分析可知，与?EE相比，ΦEE

O(ε4)小量，故在后面的分析中忽略。设在裂纹段

0≤<α内半膜力解与边界效应解的匹配形式为????=Φ????。应指出，该匹配关系应?S=?SM+?EE，ΦSSM

??(α)?B=

(29)

B??(α=?

使边界效应解所满足的边界条件为“非齐次的”和

“协调的”。所谓“非齐次的”是指在由半膜力解和边界效应解所满足的边界条件中，必须出现半膜力解，否则边界效应解就只能有零解；所谓“协调的”

??????2G()?αα (30) ??????至此，表面裂纹截面z = 0处的应力、位移均可

????和?求出。而圆柱壳其它截面(z > 0)的应通过Φ

SM

EE

力场、位移场则可通过方程(21)和方程(22)求得。依

第6期 陈杨科，等：弯载下中长圆柱壳表面裂纹的线弹簧模型解 893

前述，当z→∞时方程的完整解将收敛到基本解，由式(5)、式(16)~式(20)，可求得无因次的轴向位移如下

uc=σBzcosθ?εbR+εdRcosθ (31) 式中下标R表示取实部。式(31)右边第一项即为无表面裂纹圆柱壳在弯矩作用下的位移，不难理解第二项和第三项即为表面裂纹所引起附加变形，它们分别是截面附加轴向位移和附加转角所引起的位移，且与坐标z无关。于是，由于表面裂纹存在所产生的截面附加轴向位移和附加转角的有因次表达式为

σRσΔ=?εbR ，Θ=εdR (32)

EE

上式即可理解为由于表面裂纹存在对整个圆柱壳柔度的影响。

根据上述推导即可得到裂纹截面上的膜力z(θ)和弯矩z(θ)，从而可以求出表面裂纹前缘

响，半膜力解是相对量级为O(ε2)的小量而被忽略。将式(39)和式(40)代入式(33)，则可得

?

?KΙ=?1??

(41) 式(41)即为弯载条件下中长圆柱壳中环向表面裂纹前缘的应力强度因子公式。可以看到，柔度系数C11对应力强度因子没有影响。

4 分析与讨论

图4给出了不同裂纹深度壳厚比a/h和不同半径壳厚比R/h下的无因次应力强度因子。可以看到：在相同R/h的条件下，应力强度因子随着a/h的增大而减小，最终趋近于0(即a/h=1时，此时表面裂纹将退

的化为穿透裂纹)；另外，随着R/h的增大，KIKI0????值将趋近于1，也就是说，此时的应力强度因子将趋

近于平面应变条件下边裂纹板条的应力强度因子。这是由于圆柱壳曲率对应力强度因子的影响将随着R/h的增大而减小，就对裂纹的影响而言，圆柱壳将越来越接近于平板。

的应力强度因子。根据线弹簧模型的原理，表面裂纹前缘的应力强度因子即为相应的平面应变条件下边裂纹板条的应力强度因子，由式(6)和(3)可得

?

?KΙ=?1+ (33)

KI0??????其中KI0=σNN(ah)，KI0为平面应变条件下边裂纹板条受膜力z(θ)作用时产生的应力强度因子。

将式(18)代入式(5)可得裂纹截面上的膜力与弯矩分别为

????S} (34) Nz=σBcosθ+Re{?

′′+μ?????S)} (35) Mz=?Re{i(?S

考虑到在表面裂纹段0≤<α内有

图4 不同a/h和R/h下的应力强度因子

Fig.4 Stress intensity factors under different a/h or R/h conditions

????S=?????SM+?????EE (36) ?

′′=?SM′′+?EE′′ (37) ?S

由Φ′′=ε?和式(21)可得

????+Φ?????SM=?i(ΦSMSM) (38) 利用式(36)~(38)，将式(23)和式(24)代入式(34)和

式(35)，并取一次近似则有

Nz=σBcosθ

(39)

2

Mz=Bcosθ (40)

从式(39)可以看到，在一次近似的误差范围内，表面裂纹的存在对膜力Nz没有影响。这是由于在推导式(39)和式(40)的过程中，只计及边界效应解的影

针对圆柱壳中较长的表面裂纹，文献[11]利用有限元法计算了不同裂纹深度壳厚比、不同半径壳厚比、不同裂纹深长比下的最大应力强度因子。与本文结果比较可以发现，两者吻合较好：针对短裂纹，文献[4]的结果与相应的有限元解吻合良好；而针对相对较长的表面裂纹，与本文结果比较可以发现，两者的误差不超过3%，这说明文献[4]的模型解对于长裂纹同样具有一定的精度。

由式(41)可知，对于中长圆柱壳中的较长表面裂纹，裂纹前缘最深点处的应力强度因子对裂纹前缘的形状并不敏感，文献[11]也有类似结论。前面的推导