构造性证明与存在性证明小议

上传者：石小林
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上传时间：2015-04-24
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构造性证明与存在性证明小议

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构造性证明与存在性证明小议
幸克坚
（遵义师范学院贵州遵义５６３００２）
摘要：构造性证明与存在性证明是数学证明中常见两种证明方法。本文对它们的概念、来历及证明思路
和作用与意义，乃至相互之间的关系，作了概略的议论。并主张将它们作为一对哲学范畴，贯穿在数学教
学和数学研究之中。
关键词：构造性存在性证明
中图分类号：O171 文献标识码：E 文章编号：1009-3583（2004）04-00

一、构造性证明与存在性证明：
在数学中对命题：“存在x ，使得命题 ) ( x F 成立”的证明，有两种办法：构造性证明与存在性证
明。构造性证明就是通过有限步的推导或计算，具体地找（构造）出这样的x ；存在性证明则是从逻辑
上证明所述对象x 确实存在，但x 具体是多少？在哪里？并不一定知道。因此，构造性证明不仅要证明
所述对象的存在，而且要具体地求出对象的位置或多少（大小），而存在性证明则只需要证明该对象的存
在即可。简言之,构造性证明相信“眼见为实”，而存在性证明只是证明了“没有被看到的”的存在，是
一种理性的承认。
二、构造性证明的来历及思路分析
从历史的渊源上看，构造性证明的基本思路可以说源于我国古代数学。我国古代数学有两大特点：
其一是典型的算法体系，一切结论只是通过计算结果来说明，以汉代的《九章算术》为典型代表，将九
类问题总结出九类算法，算法比较机械，有相对固定的步骤（既我们今天常说的程序），每前进一步后，
都有有限多个确定的可供选择的下一步，这样沿着一条有规律的刻板的道路一直往前走就可以得出结果；
另一个特点是宋元时期，把许多几何问题转化为代数方程与方程组的求解问题，创造了相当于现代多项
式的概念，建立了“天元法、四元法”等代数工具，进一步丰富了算法的内容。这都体现了显著的“构
造性”或称作“可操作性”特色。
现代意义上的构造性证明则来源与一种被称为“构造性数学”的数学哲学观点（流派），它的根本特
征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。
即当我们把能证实“存在一个x 满足性质Ａ”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满
足性质Ａ的一个x ；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质Ａ的
这个x 来。如果进一步追溯下去，构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康
德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根

基金项目：遵义师范学院科研基金项目（200418）
收稿日期：2004-12-16
作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学哲学和数学史研究

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