数学竞赛试题

《全国大学生数学竞赛》 北京化工大学校内选拔竞赛试题 班级： 题号 得分 一， 填空题（每小题 3 分，共 36 分） 1，若 f ? x ? ? x ?2 x ? 1??3 x ? 2 ?... ?100 x ? 99 ? ，则 f ?0 ? ? ' 姓名： 一 二 三 学号： 四 五 分数： 六 七 八 九 总分 。 ' 2.设 f ( x ) 在 x ? 0 处可导，且 lin 3.已知 y 点是 ? x 0 cos x ? 1 e f (x) x? 0 ?1 ? 1 ，则 f ? ?0 ? ? 。 ? f ? x ? 二阶可导，且 dy dx ? ?4 ? y ? y ?? ? 0 ? ，若 y ? f ? x ? 的另一个拐 ，? ，则 ? ? 3 ?? 2 。 。 绕 x 4．计算 ? x 0 5 e ?x dx ? z ?1 1 5. 直 线 为 2 x ? y ?1 1 ? 轴旋转一周，所得旋转曲面的方程 。 n? ? 6.求极限 lim 7.已知 z 1 ? 3 ? n ? n 2 ?1 ? 2 n 2 ? 2 2 ? ? ? ?n ? 1? n 2 2 ? ?n ? 1? ? ? ? ? 。 ； ? z ? x ， y ? 满足 ? z 2 ?x?y ? 0 ，且 x ? 0 时，z ? sin y ；y ? 0 时，z ? sin x 则 z ? x， y ? ? 8.已知 u ? x ， y ， z ? ? x 。 y z ，则其全微分 du ? sin x ，? ? ? 2 。 和直线 x 2 9.设平面 D 区域由曲线 y ? 2 3 ? x ? ? ? 2 ，y ? 1 所围成， 函数 f ? x , y ? 在 D 上连续，则 ?? x ?1 ? D y f x ? 2 ? y ??dxdy ? 。 10.求幂级数 ? n ?1 ? n 3 ? 1 n ? ?? 2 ? 2 ? x n 的收敛域为 。 经管学院各专业（除信管专业外）一下 2 道填空题不做。 11.已知空间曲线 ? 为 { 则，则曲线积分 ?? x x 2 2 ? y ? y 2 2 ? z ? z 2 2 ?1 ? 2z ，其方向与 z 轴正向满足右手法 。 y ? x dy ? zdz ? 12.已知 ? 是上半球面 z 部 ?? ? ? 4 Rx ? x 2 3? ? ? y ? R ? 1 ? 在柱面 ? x ? ? 2? ? 2 2 ? y 2 ? 1 之内 分 的 上 侧 ， 则 曲 。 面 积 分 yz ? y ? z ?dydz ? zx ? z ? x ?dzdx ? xy ? x ? y ?dxdy ? 二， （10 分）设 f ? x ? 在 ?0， a ? 二阶可导，且在开区间 ?0， a ? 内达到最小 值，又 f '' ?x ? ? M ? x ? ?0， a ?? 。证明： f ' ?0 ? ? f ' ?a ? ? Ma 三、 （10 分）设 f ( x ) 为非负函数，它在 ?a , b ? 的任一子区间内不恒为 零，在 ?a , b ? 二阶可导，且 f " ? x ? ? 0 。求证：方程 f ? x ? =0 在（a,b）内如 果有根就只能有一个。 四、10 分） f ? x ? 在 ?0 ,1? 上有连续二阶导数， ?0 ? ? f ?1? ==0， ? x ? ?0 ,1? ， （ 设 且 f f ?x ? ? 0 证明： ? 1 f " ?x ? f ?x ? dx ? 4 0 五 、（ 10 分 ） 设 ?x ? 1? 2 f ?x, y ? 2 ? y ? ? ? 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 xy f ?x, y ? ? 1 ? x ? y ? o? ? ? ， 函 数 g ? x , y

? ? f ?e ,x ? y 2 2 ? 。证明： g ? x , y ? 在点 ?0 , 0 ? 取得极值，并判断该极值是极大值还是极小值，并求 出该值。 六、 （10 分）将均匀抛物型体 ? : x 2 ? y 2 ? z ? 1 放在水平桌面上，试证 3 2 明当抛物体处于稳定平衡，它的轴线与桌面的夹角为 arc tan 。 七、 （10 分） （1）讨论级数 ? n ?1 ? ?1 1 ?? ? ? ? ln ? 1 ? ? ? n ?? ? ?n 1 2 ?? ? 1 n 的敛散性。 （2）已知 x n ?1? ? ln ?1 ? n ? 。证明:数列 x n ? ? 收敛 （3）求极限： lim n? ? 1 1? ? ?? ? ? ?1 ? ln n ? 2 n? 1 八、 （10 分）设函数 f ? x , y ? 可微， f ' ? x , y ? ? x ? ? ? ? f ? x , y ?, f ? 0 , ? ? 1 ，且满足 2 ? ? ? ? 1 ? f ? 0, y ? n ? lim ? n? ? f ?0 , y ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? n ? e cot y ，求 f ? x , y ? 经管学院各专业（除信管专业外）第九题不做。 九、 （10 分）将密度为 0.5kg/ m ，半径为 R 的球抛如水中，待球静止 3 后将球压入水中，使其顶端与水面平齐，问压球至少需做多少功？