中考数学压轴题及答案

上传者：李先旺
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上传时间：2015-04-26
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中考数学压轴题及答案

（1）先求解下列两题：

① 如图①，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；

② 如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B、C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数y=(x＞0)的图象经过点B、D，求k的值。

（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单写出。解：（1）① ∵在△ADE中，∠EDM=∠A+∠AED

∴∠AED=∠EDM-∠A ∵CD=DE ∴∠AED=∠DCE ∴∠DCE=∠EDM-∠A

∵在△ACD中，∠DCE=∠A+∠ADC ∴∠ADC=∠DCE-∠A

=∠EDM-2∠A

∵BC=CD ∴∠ADC=∠DBC ∴∠DBC=∠EDM-2∠A

∵在△ABC中，∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠ACB=∠DBC-∠A

=∠EDM-3∠A

∵AB=BC ∴∠A=∠ACB

∴∠A=∠EDM-3∠A ∴∠A=1

∠EDM ∵∠EDM=84° ∴∠A=21°

② ∵点B在反比例函数图象上，且横坐标为3 ∴可设点B的坐标为（3，k3

） ∵C的横坐标是3，且BC=2 ∴点C的坐标为（3，k3

2） ∵D的横坐标为1，且AC∥x轴 ∴点D的坐标为（1，k3

2） ∵点D在反比例函数图象上 ∴1·（k3

2）=k ∴k

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（2）两小题的共同点是：用已知的量通过一定的等量关系去表示未知的量，建立方程解答问题

【2013·杭州·23题】如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积为S1. （1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，y=S1。

① 求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； ② 当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值。解：（1）过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H。

∵AC是正方形ABCD的对角线 ∴∠HPC=∠HCP=45° ∵∠EPF=45°

∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90° ∵∠PHF=90° ∴∠CFP+∠HPF=90° ∴∠APE=∠CFP

（2）①∵P是正方形ABCD的对称中心，边长为4

∴PH=GP=2，

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∵CF=x ∴S△PFC=CF·PH=x ∴S2=2S△PFC=2x

∵∠APE=∠CFP，∠PAE=∠PCF=45° ∴△APE∽△CFP AEAP

= CPCF

∴AE=

APCP8

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x182x1

∵S△ABC=AB·BC=8

∴S△APE=AE·GP=

∴S四边形BFPE=S△ABC-S△APE-S△PFC=8--x ∴S1=2S四边形BFPE=16-∴y=S1=

-2x x

16 2x

88 2 1

2xxx

∵点F在BC边上，点E在AB边上，且∠EPF=45° ∴2≤x≤4

11x211∴当，即x=2时，y有最大值，最大值为1

∵y= 8( )2 1

② 因为两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，要使其关于点P成中心对称，则两块阴影部分图形还要关于直线BD成轴对称，此时BE=BF

∴AE=CF

则=x，得x

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舍去) ∴x

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∴y

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888 1

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x2x8

【2013·南京·26题】已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)（a、m为常数，且a≠0）。（1）求证：不论a与m为何值，该函数与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。 ① 当△ABC的面积等于1时，求a的值；

② 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。解：（1）当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0

∵a≠0

∴x2-(2m+1)x+m2+m=0 ∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)

=4m2+4m+1-4m2-4m =1＞0

∴方程a(x-m)2-a(x-m)=0恒有两个不相等的实数根故，不论a与m为何值，该函数与x轴总有两个公共点（2）由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0

解得：x=m或m+1 ∴点A的坐标为（m，0）点B的坐标为（m+1，0） ∴AB=m+1-m=1

① 由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-)2 -a得

2411

顶点C的坐标为（m+，-a）

∵△ABC的面积等于1 ·1·|-a|=1 ∴a=±8

214

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