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《线性代数》应用例题

上传者:钱向明
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上传时间:2015-04-26
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《线性代数》应用例题

《线性代数》应用题

生产成本

《线性代数》,张文博,张丽静译,机械工业出版社,P33

某工厂生产三种产品,它的成本分为三类,第一类成本中,给出生产单个产品时估计需要的量,同时给出每季度生产每种产品数量的估计。这些数据如下表如所:

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计算每一季度三类成本中的每一类成本的数量

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0.10.30.15 =[0.30.40.25]

0.10.20.15

4000450045004000 =[2000260024002200]

5800620060006000

第三个表格通过 来计算。

信息编码

《线性代数》,张文博,张丽静译,机械工业出版社,P92

一个通用的传递信息的方法是,将每一个字母与一个整数相对应,然后传输一串整数。例如,信息

SEND MONEY

可以编码为

5,8,10,21,7,2,10,8,3

其中S表示为5,E表示为8,等等。但是,这种编码很容易破译,在一段较长的信息中,我们可以根据数字出现的相对频率猜测每一数字表示的字母。例如,若8为编码信息中最常出现的数字,则它最有可能表示字母E,即英文中最常出现的字母。

我们可以用矩阵乘法对信息进行进一步的加密。设 是所有元素均为整数的矩阵,且其行列式为±1,由于 1=± ,则 1的元素也是整数,我们可以用这个矩阵对信息进行加密,加密后的信息将很难破译。下面介绍具体的加密方法。令

121 =[253]

232

需要编码的信息放置在三行矩阵 的各个列上。

52110 =[878]

1023

乘积

12152110313729

=[253][878]=[808369]

2321025467503

给出了用于传输的编码信息:

31,80,54,37,83,67,29,69,50

接收到信息的人可以通过乘以 1进行解码

1( )=

因为

1 1131372952110[20 1][808369]=[878] 4115467501023

由于整数在计算机是准确表示的,而小数在计算机中是近似表示的,所以保证 1的元

素是整数非常重要,否则,如果 1的元素是小数,则解密后信息会因为误差造成与原始信息不同,这样的加密算法就没有意义了。为了保证 1的元素是整数,我们要求| |=±1。 为构造编码矩阵 ,我们可以从单位矩阵 开始,多次采用如下运算: 将某一行(列) ( ≠0)倍加到另一行(列)

1

1 11=[20 1] 411

交换两行(列)

结果矩阵 的元素还是整数,且

| |=±| |=±1

因此 1的元素也是整数。如果满足| |=±1条件的矩阵很少,则这个加密的算法就没有实际意义,因为破解者可以逐个构造出这样的矩阵进行破解。从上面的构造过程看,满足| |=±1条件的矩阵有很多,所以这个加密算法具有实际意义。

参考书中提供的参考文献

1. Hansen, Robert,

, 13(1), 1982. Two-Year College Mathematics Journal

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