《线性代数》应用例题
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《线性代数》应用例题
《线性代数》应用题
生产成本
《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P33
某工厂生产三种产品，它的成本分为三类，第一类成本中，给出生产单个产品时估计需要的量，同时给出每季度生产每种产品数量的估计。这些数据如下表如所：
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计算每一季度三类成本中的每一类成本的数量
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0.10.30.15 =[0.30.40.25]
0.10.20.15
4000450045004000 =[2000260024002200]
5800620060006000
第三个表格通过 来计算。
信息编码
《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P92
一个通用的传递信息的方法是，将每一个字母与一个整数相对应，然后传输一串整数。例如，信息
SEND MONEY
可以编码为
5，8，10，21，7，2，10，8，3
其中S表示为5，E表示为8，等等。但是，这种编码很容易破译，在一段较长的信息中，我们可以根据数字出现的相对频率猜测每一数字表示的字母。例如，若8为编码信息中最常出现的数字，则它最有可能表示字母E，即英文中最常出现的字母。
我们可以用矩阵乘法对信息进行进一步的加密。设 是所有元素均为整数的矩阵，且其行列式为±1，由于 1=± ，则 1的元素也是整数，我们可以用这个矩阵对信息进行加密，加密后的信息将很难破译。下面介绍具体的加密方法。令
121 =[253]
232
需要编码的信息放置在三行矩阵 的各个列上。
52110 =[878]
1023
乘积
12152110313729
=[253][878]=[808369]
2321025467503
给出了用于传输的编码信息：
31，80，54，37，83，67，29，69，50
接收到信息的人可以通过乘以 1进行解码
1( )=
因为
则
1 1131372952110[20 1][808369]=[878] 4115467501023
由于整数在计算机是准确表示的，而小数在计算机中是近似表示的，所以保证 1的元
素是整数非常重要，否则，如果 1的元素是小数，则解密后信息会因为误差造成与原始信息不同，这样的加密算法就没有意义了。为了保证 1的元素是整数，我们要求| |=±1。 为构造编码矩阵 ，我们可以从单位矩阵 开始，多次采用如下运算： 将某一行(列) ( ≠0)倍加到另一行(列)
1
1 11=[20 1] 411
交换两行(列)
结果矩阵 的元素还是整数，且
| |=±| |=±1
因此 1的元素也是整数。如果满足| |=±1条件的矩阵很少，则这个加密的算法就没有实际意义，因为破解者可以逐个构造出这样的矩阵进行破解。从上面的构造过程看，满足| |=±1条件的矩阵有很多，所以这个加密算法具有实际意义。
参考书中提供的参考文献
1. Hansen, Robert,
, 13(1), 1982. Two-Year College Mathematics Journal
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