序列的卷积和快速卷积运算的编程实现

课程设计任务书

学生姓名： 韩新颖 专业班级： 电信1203班 指导教师： 阙大顺 王虹 工作单位： 信息工程学院 题 目: 序列的卷积和快速卷积运算的编程实现

初始条件：

1. Matlab6.5以上版本软件；

2. 课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“数字信号处理原理与实现”、“Matlab及在电子信息课程中的应用”等；

3. 先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab应用实践及信号处理类课程等。

要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

1. 课程设计时间：1周（课内实践）；

2. 课程设计内容：序列的卷积和快速卷积运算的编程实现，具体包括：直接卷积及应用、快速卷积方法及实现、两者的比较分析等；

3. 本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结；

4. 课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括： ① 目录；

② 与设计题目相关的理论分析、归纳和总结；

③ 与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析；

④ 程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结； ⑤ 课程设计的心得体会（至少500字）；

⑥ 参考文献；

⑦ 其它必要内容等。

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名： 年 月 日

摘 要

卷积在数字信号处理中有着重要的作用。然而直接计算卷积的运算量非常大，它与序列长度的平方成反比，因此制约了卷积的应用。快速卷积是实现卷积的一种快速算法，减少了运算量，节约了时间。通过分析我们可在MATLAB里编程实现。

关键词：卷积；快速卷积；MATLAB。

目录

1、直接卷积及应用.......................................................................................................................... 1

1.1卷积的定义 ............................................................................................................................. 1

1.2、卷积的运用 .......................................................................................................................... 1

2、快速卷积方法及实现 .................................................................................................................. 2

2.1快速卷积运算原理 .................................................................................................................. 2

2.2实现方法 ................................................................................................................................. 3

2.2.1重叠相加法 ....................................................................................................................... 3

2.2.2重叠保留法 ....................................................................................................................... 3

3、直接卷积和快速卷积的分析比较 ................................................................................................ 4

4、程序设计及仿真结果分析 ........................................................................................................... 4

5、心得体会................................................................................................................................... 11

6、参考文献................................................................................................................................... 12

1、直接卷积及应用

1.1卷积的定义

设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

1.2、卷积的运用

卷积是数字信号处理中最常见，也是最重要的运算之一，利用卷积可以实现相关计算和FIR滤波等等，正因为卷积如此重要，所以半个世纪以来，学者们提出了多种不同卷积实现结构。

设输入信号为x（t）,其频谱函数为X（jΩ）该信号通过滤波器h（t）后，其输出信号y（t）的频谱函数Y（jΩ）是频谱函数x（jΩ）与滤波器的频谱函数H（jΩ）的乘积，即：

Y（jΩ）=X（jΩ）H（jΩ）

而在时域，输出信号y(t)实际是输入信号x(t)与滤波器h(t)的卷积，就是说频谱函数的乘积相当于时间函数的卷积，反之亦然，即：

y(t)=x(t)*h(t)

在数字信号处理系统中，无论在时域还是频域都离不开卷积运算和快速傅里叶运算，Matlab具有强大的矩阵运算能力。方便实用的绘图功能和语言的高度集成性。在DSP开发中，使用Matlab可以快速对系统进行仿真运算。

1

2、快速卷积方法及实现

2.1快速卷积运算原理

在信号处理中，许多具体的应用是以线性卷积为基础的。当满足一定条件时，可以用圆周卷积来计算线性卷积。由圆周卷积定理知道，圆周卷积可以借助DFT来运算，因此DFT的快速算法FFT就可以用来计算线性卷积。

设x1（n）与x2（n）分别是长度为N与M的有限长序列，它们的线性卷积为yl（n），L点的圆周卷积为yc（n），它们的关系为

yc（n）=∑yl(n+rL)Rl(n)

由上式可知圆周卷积是线性卷积以L为周期进行延拓后，再取主值序列的结果。当满足L>M+N-1时，周期延拓不发生混叠，就可以用圆周卷积来计算线性卷积。由圆周卷积定义可知，可以用FFT分别求出x1（n）与x2（n）的L点DFT X1（k）与X2（k），即 X1（k）=DFT[ x1(n）],

X2（k）=DFT[ x2(n) ],

再用IFFT计算X1(k）X2(k)的L点IDFT得yc（n），也就是x1（n）与x2（n）的线性卷积为yl(n),即

yl(n)=yc(n)=IDFT[X1(k)·X2（k）]

下图为上述过程的示意图

x1

x2 yc(n）=yl(n)

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