高等数学第9章3

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第9章（之1） （总第44次）

教学内容:§9.1微分方程基本概念

*1． 微分方程2(y??)3?9y?y????5xy7的阶数是 （ ）

（A）3； （B）4； （C）6； （D）7． 答案（A）

解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．

*2． 下列函数中的C、?、?及k都是任意常数，这些函数中是微分方程y???4y?0的通解的函数是 （ ）

（A）y?3Ccos2x?(12?29C)sin2x； （B）y?Ccos2x(1??sin2x)；

（C）y?kCcos2x??k2C2sin2x； （D）y?Ccos(2x??)． 答案 （D）

解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．

（A）中的函数只有一个任意常数C；

（B）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；

（C）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k，但当令C?kC时，函数就变成了y?Ccos2x??Csin2x，实质上只有一个任意常数；

（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．

x?x*3．在曲线族 y?c1e?c2e中，求出与直线y?x相切于坐标原点的曲线． 2

解 根据题意条件可归结出条件y(0)?0,y?(0)?1，

由y?c1e?c2e， y??c1e?c2e

故c1?

x?xx?x，可得c1?c2?0,c1?c2?1， 111,c2??，这样就得到所求曲线为y?(ex?e?x)，即y?sinhx． 222

?d2ydy1?x2?dx2?dx?y?0

2*4．证明：函数y的解． esix是初值问题?dy32?yx?0?0,x?0?1?dx?

xx3322six?cx证明 y， ??32211

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xx3322， yesix?ecx???32211

代入方程得 y???y??y?0， 此外

1y(0)?0，y?(0)?1， x2故y3e2six是初始值问题的解． 32

*5．验证y?e

xxtxx?x（其中C为任意常数）是方程y??y?e的通解． edt?Ce?02tx22证明 yeedt?e?e?Ce?y?e??0?xx2xx2x?x， 即 y??y?ex?x，说明函数确实2

给定方程的解．

?e另一方面函数yxtxt?Ce含有一任意常数C，所以它是方程的通解． ?ed0x2

**6．求以下列函数为通解的微分方程：

（1）y?Cx?1；

解 将等式y??1改写为y3?Cx?1，再在其两边同时对x求导，得3y2y??C，代入上式，即可得到所求之微分方程为3xy2y??y3?1．

（2）y?C1x?C2． x

解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x求两次导数，得

y??C1?C22C2??y?，． 23xx

从以上三个式子中消去任意常数C1和C2，即可得到所求之微分方程为

x2y???xy??y?0．

**7．建立共焦抛物线族y?4C(x?C)（其中C为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．

解 在方程y?4C(x?C)两边对x求导有2yy??4C，从这两式中消去常数所求方程为y?y?(2x?yy?)． 22

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**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线y?y(x)上任一点处的法线都经过坐标原点．

解 任取y?y(x)上的点 (x,y)，曲线在该点处的切线斜率为 y?=

所以过点(x,y)的法线斜率为dy． dx?1?1， 法线方程为Y?y=(X?x)， y?y?

?1(0?x)从而可得所求微分方程为x?yy??0． y?因为法线过原点，所以0?y?

第9章（之2）（总第45次）

教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程

**1．求下列微分方程的通解：

（1）y??x(1?y)； 1?x2

解： 分离变量dyxdxdyxdx??，两边积分?1?y?1?x2， 1?y1?x2

1Cln(1?x2)?lnC，即y?1?． 22?x得?ln(1?y)?

（2）y??x2x?y2e； 2y

2解：分离变量2yeydy?xe2xdx，两边积分就得到了通解

2111ey?(xe2x?e2xdx)?(xe2x?e2x)?c． 222?

（3）(2x?1)eyy??2ey?4?0．

eydydx??解： ， y2x?12e?4

y111ln(ey?2)??ln(2x?1)?lnC， 222 e?22)(x?1)?C即 (．

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**2．试用两种不同的解法求微分方程y??1?x?y?xy的通解．

解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，y??(1?x)(1?y)，

dy

?(1?x)dx，并积分 1?y

1

?

dy

?(1?x)dx 1?y?

x2?x12

2得?ln(1?y)?x?x?c，所求通解为 y?1?ce．

2

解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为y??(1?x)y?1?x，这是一个一阶线性非齐次方程．

对应的齐次方程为y??(1?x)y?0，其通解为○1y?Ce代入原非齐次方程得Ce方程的通解

1

12

x?x2

．

?

12x?x2

2C?e?1?x，解得○

x2?x

1

x?x2

2

2代入○1即可得原?C，○

y?1?Ce

*3．求解下列初值问题：

2

．

1

（1）y??，y()??e6．

2?x2

解：?y?=

y

?

y1?x

2

，?

dydx? (y?0)，

2y?x

?

dy

??y

dx?x

2

，

?lny?arcsinx?C， ? y?Cearcsinx，

arcsin1??2

，?C??1， ? y??earcsinx． ?y()??e，??e?Ce

2

661

（2）y??2xy?e?x，y(0)?1；

解: ?y??2xy?e?x， ?p(x)?2x，q(x)?e?x，

?2xdx

2

2

2

?y(x)?e

?

?e?x2e?2xdxdx?C??e?x2?e?x2e?2xdxdx?C??xe?x2?Ce?x2， ??????????

? y(0)?1， ?1?0?c?c?1， ?y?(x?1)e?x．

2

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（3）y??ycotx?ecosx，y()?1； ?

2

解： ? y??ycotx?ecosx， ?P(x)?coxt，Q(x)?ecosx．

?coxtdx?coxtdxC?ecoxse?dx? ?e?lnsinx(C?ecosxelnsinxdx) ? y?e???????

cosxsinxdx)?(C?ecosx)cscx， ?cscx(C?e?

由y()?1， 可确定 C?2，所以 ?

2y?(2?ecosx)cscx．

（4）x2dy?(2xy?x?1)dx?0，y

解： 方程变形为 y??

2211?xdx??xdx?y?edx? ?c?(?2)exx???x?1?0． 211y??2，是一阶线性非齐次方程，其通解为 xxx?

?1

x2c11112?1?12????? c?(?)xdx?c?x?x222????2xxx2??x??x?

由 y(1)?0， 得 c?

1111??． ， 所以特解为：y?222x2x

**4．求微分方程 ylnydx?(x?lny)dy?0 的通解（提示将x看作是y的函数）．

解：将x看作是y的函数，原方程可化为dx11?x?，这是一阶线性方程，将其中dyylnyy

P(y)?11, Q(y)?代入一阶线性方程求解公式，得通解 ylnyy

?11???ylnydy?1?ylnydy?1dy? ?e?ln(lny)?c??eln(lny)dy? x?e?c??eyy??????

?

1?lny?c1c?dy ???lny2lny． ?lny?y??