高等数学第9章3
高数,数学,大学,华理,答案,材料,化学,化工
第9章(之1) (总第44次)
教学内容:§9.1微分方程基本概念
*1. 微分方程2(y??)3?9y?y????5xy7的阶数是 ( )
(A)3; (B)4; (C)6; (D)7. 答案(A)
解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数.
*2. 下列函数中的C、?、?及k都是任意常数,这些函数中是微分方程y???4y?0的通解的函数是 ( )
(A)y?3Ccos2x?(12?29C)sin2x; (B)y?Ccos2x(1??sin2x);
(C)y?kCcos2x??k2C2sin2x; (D)y?Ccos(2x??). 答案 (D)
解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数.
(A)中的函数只有一个任意常数C;
(B)中的函数虽然有两个独立的任意常数,但经验算它不是方程的解;
(C)中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k,但当令C?kC时,函数就变成了y?Ccos2x??Csin2x,实质上只有一个任意常数;
(D)中的函数确实有两个独立的任意常数,而且经验算它也确实是方程的解.
x?x*3.在曲线族 y?c1e?c2e中,求出与直线y?x相切于坐标原点的曲线. 2
解 根据题意条件可归结出条件y(0)?0,y?(0)?1,
由y?c1e?c2e, y??c1e?c2e
故c1?
x?xx?x,可得c1?c2?0,c1?c2?1, 111,c2??,这样就得到所求曲线为y?(ex?e?x),即y?sinhx. 222
?d2ydy1?x2?dx2?dx?y?0
2*4.证明:函数y的解. esix是初值问题?dy32?yx?0?0,x?0?1?dx?
xx3322six?cx证明 y, ??32211
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xx3322, yesix?ecx???32211
代入方程得 y???y??y?0, 此外
1y(0)?0,y?(0)?1, x2故y3e2six是初始值问题的解. 32
*5.验证y?e
xxtxx?x(其中C为任意常数)是方程y??y?e的通解. edt?Ce?02tx22证明 yeedt?e?e?Ce?y?e??0?xx2xx2x?x, 即 y??y?ex?x,说明函数确实2
给定方程的解.
?e另一方面函数yxtxt?Ce含有一任意常数C,所以它是方程的通解. ?ed0x2
**6.求以下列函数为通解的微分方程:
(1)y?Cx?1;
解 将等式y??1改写为y3?Cx?1,再在其两边同时对x求导,得3y2y??C,代入上式,即可得到所求之微分方程为3xy2y??y3?1.
(2)y?C1x?C2. x
解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数,所以所求方程一定是二阶方程,在方程等式两边同时对x求两次导数,得
y??C1?C22C2??y?,. 23xx
从以上三个式子中消去任意常数C1和C2,即可得到所求之微分方程为
x2y???xy??y?0.
**7.建立共焦抛物线族y?4C(x?C)(其中C为任意常数)所满足的微分方程[这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴,坐标原点为焦点的抛物线].
解 在方程y?4C(x?C)两边对x求导有2yy??4C,从这两式中消去常数所求方程为y?y?(2x?yy?). 22
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**8.求微分方程,使它的积分曲线族中的每一条曲线y?y(x)上任一点处的法线都经过坐标原点.
解 任取y?y(x)上的点 (x,y),曲线在该点处的切线斜率为 y?=
所以过点(x,y)的法线斜率为dy. dx?1?1, 法线方程为Y?y=(X?x), y?y?
?1(0?x)从而可得所求微分方程为x?yy??0. y?因为法线过原点,所以0?y?
第9章(之2)(总第45次)
教学内容:§9.2 .1可分离变量的方程; §9.2 .2一阶线性方程
**1.求下列微分方程的通解:
(1)y??x(1?y); 1?x2
解: 分离变量dyxdxdyxdx??,两边积分?1?y?1?x2, 1?y1?x2
1Cln(1?x2)?lnC,即y?1?. 22?x得?ln(1?y)?
(2)y??x2x?y2e; 2y
2解:分离变量2yeydy?xe2xdx,两边积分就得到了通解
2111ey?(xe2x?e2xdx)?(xe2x?e2x)?c. 222?
(3)(2x?1)eyy??2ey?4?0.
eydydx??解: , y2x?12e?4
y111ln(ey?2)??ln(2x?1)?lnC, 222 e?22)(x?1)?C即 (.
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**2.试用两种不同的解法求微分方程y??1?x?y?xy的通解.
解法一 (可分离变量方程的分离变量法)这是一个一阶可分离变量方程,同时也是一个一阶线性非齐次方程,这时一般作为可分离变量方程求解较为容易. 分离变量,y??(1?x)(1?y),
dy
?(1?x)dx,并积分 1?y
1
?
dy
?(1?x)dx 1?y?
x2?x12
2得?ln(1?y)?x?x?c,所求通解为 y?1?ce.
2
解法二 (线性方程的常数变易法)将原方程改写为y??(1?x)y?1?x,这是一个一阶线性非齐次方程.
对应的齐次方程为y??(1?x)y?0,其通解为○1y?Ce代入原非齐次方程得Ce方程的通解
1
12
x?x2
.
?
12x?x2
2C?e?1?x,解得○
x2?x
1
x?x2
2
2代入○1即可得原?C,○
y?1?Ce
*3.求解下列初值问题:
2
.
1
(1)y??,y()??e6.
2?x2
解:?y?=
y
?
y1?x
2
,?
dydx? (y?0),
2y?x
?
dy
??y
dx?x
2
,
?lny?arcsinx?C, ? y?Cearcsinx,
arcsin1??2
,?C??1, ? y??earcsinx. ?y()??e,??e?Ce
2
661
(2)y??2xy?e?x,y(0)?1;
解: ?y??2xy?e?x, ?p(x)?2x,q(x)?e?x,
?2xdx
2
2
2
?y(x)?e
?
?e?x2e?2xdxdx?C??e?x2?e?x2e?2xdxdx?C??xe?x2?Ce?x2, ??????????
? y(0)?1, ?1?0?c?c?1, ?y?(x?1)e?x.
2
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(3)y??ycotx?ecosx,y()?1; ?
2
解: ? y??ycotx?ecosx, ?P(x)?coxt,Q(x)?ecosx.
?coxtdx?coxtdxC?ecoxse?dx? ?e?lnsinx(C?ecosxelnsinxdx) ? y?e???????
cosxsinxdx)?(C?ecosx)cscx, ?cscx(C?e?
由y()?1, 可确定 C?2,所以 ?
2y?(2?ecosx)cscx.
(4)x2dy?(2xy?x?1)dx?0,y
解: 方程变形为 y??
2211?xdx??xdx?y?edx? ?c?(?2)exx???x?1?0. 211y??2,是一阶线性非齐次方程,其通解为 xxx?
?1
x2c11112?1?12????? c?(?)xdx?c?x?x222????2xxx2??x??x?
由 y(1)?0, 得 c?
1111??. , 所以特解为:y?222x2x
**4.求微分方程 ylnydx?(x?lny)dy?0 的通解(提示将x看作是y的函数).
解:将x看作是y的函数,原方程可化为dx11?x?,这是一阶线性方程,将其中dyylnyy
P(y)?11, Q(y)?代入一阶线性方程求解公式,得通解 ylnyy
?11???ylnydy?1?ylnydy?1dy? ?e?ln(lny)?c??eln(lny)dy? x?e?c??eyy??????
?
1?lny?c1c?dy ???lny2lny. ?lny?y??
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