高等数学第 12 章7

高等数学,习题及答案

第 12 章 （之2）（总第68次）

教学内容 : §12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题：

**（1）设f(x,y)是连续函数，则

?

a

20

dya2?y2a2?2ay

f?x,y?dx?

?

aa2

dy?

a2?y2

f?x,y?dy?a?0?

可交换积分次序得___________________________．

a

a?x答：原式=dx

?

a2?x22a

?f(x,y)dy．

?

**（2）设f(x,y)是连续函数，则二次积分

?1

dx?

?xx?1

f(x,y)dy （ ）

1

y?1

（A）

?dy?

010

1y?1

?1

f(x,y)dx??dy?

12

y2?1

?1

f(x,y)dx； （B）

?dy?

020

?1

?1

f(x,y)dx；

(C) 答：(C)

?dy?

y?1

?1

f(x,y)dx??

1

dy?

?y2?1

?1

f(x,y)dx； (D)

?dy?

?y2?1

f(x,y)dx．

**（3）设f?x,y?是连续函数，交换二次积分

?

e

1

dx?

lnx0

f?x,y?dy的积分次序的结果为

（ ）

（A） (C) 答：(D)

?dy?

1e1

elnx

f?x,y?dx； (B) f?x,y?dx； (D)

1

?dy?

11

e

e

elnx

f?x,y?dx；

?dy?

lnx

?

dy?yf?x,y?dx．

**（4）设f(x,y)是连续函数，则积分

?dx?

x2

f(x,y)dy??dx?

1

22?x

f(x,y)dy可

交换积分次序为 （ ） （A）（B）（C）（D）

?

1

dy?f?x,y?dx?

y

?

2

1

dy?

2?y

02?x

f?x,y?dx； f?x,y?dx；

?

1

dy?f?x,y?dx?

x2

?

2

1

dy?

?

1

01

dy?

x

2?yy

f(x,y)dx；

?

dy?2f?x,y?dx．

2?x

高等数学,习题及答案

答： (C )

**（5）设函数f?x,y?在x?y?1上连续，使

2

2

x2?y2?1

??f?x,y?dxdy?4?dx?

1

?x2

f?x,y?dy

成立的充分条件是 （ ） （A）f(?x,y)?f(x,y)， f(x,?y)??f(x,y)；

（B）f(?x,y)??f(x,y)，f(x,?y)?f(x,y)； （C）f(?x,y)??f(x,y)，f(x,?y)??f(x,y)； （D）f(?x,y)?f(x,y)，f(x,?y)?f(x,y)． 答：（D）．

2．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定 在区域上连续）． **（1）D由曲线xy?1,y?x,x?2解：I?

**（2）D??x,ymax?1?x,x?1??y?1解：I?

**（3） D：x?y?1，x?y?1，x?0．

1

1?x

y?1

1

1?y

围成；

2

2

1

y

?

2

1

dx1f?x,y?dy?1dy1f?x,y?dx??dy?f?x,y?dx

x

2

y

x12

??

1

1?y

1?y

?

1

dx?

1

1?x

f?x,y?dy??dx?

1

21

x?1

f?x,y?dy??dy?

f?x,y?dx

解：原式=dx

??f(x,y)dy=?dy?

x?1

?1

f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx．

3．计算二次积分： **(1)

?dy?

2

42y2

e

x2?2x

dx．

解：D:2?y?4,

原式? ?

y

?x?2， 变换积分次序得D*:1?x?2,2?y?2x， 2

?

1

2

12

ex

2

?2x

dx?dy??ex

2

1

2

2x2

2

?2x

?2x?2?dx

1?1?．

e

?

ex

2

?2x

d?x2?2x??ex

?2x2

1

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1x

**(2)

?1?dx?x?1

1?x2?y2dy． 1131122解：原式=?dy?x?x?ydx=?(1?y)dy =． 23?1?1y

4．计算下列二重积分 **(1) ??Dd?2?y，其中D??x,yx2?y2?2y； ??

解：原式=2?2

0dy?2y?y2dx2?y

20?82． 3**(2) 计算二重积分

1xx3edxdy，其中D是第一象限中由y=x和y=x所围成的区域． ??D

解：原式=edxdy=(xex?x3ex)dx =?0x21x3??0221e?1． 2

**(3) 计算二重积分22，其中x?yd?D?{(x,y)0?y?1?x}． ??D

2解：D??x,y?0?y?1?x?D:0?y?1， ??

原式??

1

010?ydy???yx2dx ??

?1?ydyx33?y??y11?y?1?y?y??1?y?ydy?03 112222???1?y?dy????1?y?d?1?y?3030

223???1?y?1?099

**(4) 计算二重积分????x?yd?,其中D??(x,y)0?x?1,0?y?2?．

D

解：直线y?x把区域D分成D1（上）、D2（下）两个部分，

??x?yd????(y?x)d????(x?y)d?

DD1D2

111??dx?(y?x)dy??dx?(x?y)dy??(y?x)2dx??(x?y)2dx 0x000202x0121x12x

高等数学,习题及答案

14??(x2?2x?2)dx?x3?x2?2x?． 033011

**(5) 计算二重积分??xsin(x?y)d?，其中D由直线x?

D、抛物线y?x2?x及其在

（0，0）点的切线围成．

解：抛物线y?x2?x在（0，0）处切线斜率 y'(0)??1，此切线方程为 y??x， 区域D:0?x?

,?x?y?x2?x， ??xsin(x?y)d?

D

??dx?0?x2?x?x

x2?xxsin(x?y)dy xsin(x?y)d(x?y)

2??dx?0?x ???0?x?x dx[xcos(x?y)]yy??x

??0x(cos0?cosx)dx??20x(1?cosx2)dx?12x201?sinx2

20=?． 2

6．试利用积分区域的对称性和被积函数（关于某个单变量）的奇偶性，计算二重积分：

**(1)

解：

222??，a ,b ,c为常数． ??D?x,yx?y?R，其中 ??ax?by?cd???D???ax?by?c?d????axd????byd????cd?， DDDD222∵D??x,y?x?y?R，既关于y轴对称，又关于x轴对称． ??又∵f?x??ax为奇函数，g?y??by也为奇函数． ∴由积分区域对称性及被积函数的奇偶性可知：??axd??0,??byd??0． DD

x21?x5?y**(2) ??dxdy，其中D??x,y?x?1,0?y?2． 61?xD????

x21?x5?yx7?yx2

解：??dxdy???dxdy???dxdy， 6661?x1?x1?xDDD??

高等数学,习题及答案

∵D??x,y?x?1,0?y?2，关于y轴对称，

??

x7?yx7?y

又u?x,y??，关于x为奇函数， ∴??dxdy?0， 66

1?x1?xD

12x21?x5?yx2x2

dxdy???dxdy??dx?dy ∴ ??66?101?x61?x1?xDD

1

??

2x2411dx? ?2?01?x63?01?x3

2

dx3?

4

arctanx33

10

?

?

3

．

第 12 章（之3）（总第69次）

教学内容: §12．2．2 二重积分在极坐标系下的计算方法

1． 填空与选择

**(1) 设D：0???1,0? ? 答：

**(2) 设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出

先对?积分的累次积分_________________．

解：记F(?, )?f(?cos ,?sin )?，则

?

2

，根据二重积分的几何意义，则

??

D

??2?d?dθ?___________．

1

?． 6

??f(x,y)dxdy在极坐标系下

D

?

?

3

2cos

?

3

1

?

2

2cos

?

．

??d ?F(?, )d????d ?F(?, )d????d ?F(?, )d?

2

?

3

3

**（3）若区域D为(x－1)2+y2≤1，设F(?, )?f(?cos ,?sin )?，