欧拉公式一点通
欧拉公式应用问题一点通
简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间有关系:V+F-E=2,称此式子为欧拉公式,这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性。它表明对于简单多面体V+F-E是一个不变的常数2。利用欧拉公式,求解多面体的棱数、面数、顶点数、各面多边形的内角总和等问题,是高考的基本要求,可能出现在选择题或填空题中。
问题1 C70分子是球状简单多面体结构,它有70个顶点,以每个顶点为一端都有3条棱,各面是五边形或六边形,求 C70分子中五边形和六边形的个数各是多少?
分析 设出五边形与六边形的个数,由面数、顶点数、棱数的关系,列方程组求解。 解析 设C70分子中五边形和六边形的面各有x个和y个
多面体的顶点数V=70,面数F=x+y ,棱数E?
根据欧拉公式得 70?(x?y)?1(3?70) 。 21(3?70)?2 , 即 x+y=37; 2
另一方面,棱数也可由多边形边数来表示, 11(5x?6y)?(3?70) , 即 5x+6y=210 . 22
由方程组 {x?y?375x?6y?210, 解得 x=12 , y=25
所以C70分子中五边形和六边形的个数分别为12 和25 。
点评 一般的,关于多面体棱数有以下结论:
(1) 多面体的棱数E与各面的边数之间有关系:若设各面边数分别为
1,nF,则总棱数E?(n1?n2??nF)。特别的,当各面多边形2
mF边数相等,设为m条,则总棱数E?。 2n1,n2,
(2) 多面体的棱数E与由各顶点引出的棱数之间有关系:若设各顶点的棱数分
1mv,则总棱数 E?(m1?m2??mv) 。特别的,当各2
nv顶点引出棱数相等,设为n条,则总棱数E?. 2别为m1,m2,
1
本题利用棱数E:一方面满足欧拉公式;另一方面,棱数E等于各顶点引出的棱数和的一半,列出两个方程求解,这体现了方程的思想。
问题2 一个正多面体内角和为3600,求它的面数、顶点数和棱数。
[分析] 需从各个面的内角总和入手,再利用欧拉公式求解。
[解析] 由多面体内角和为3600 ,得 (V?2)?3600?36000, 00
?V?2?10,得V=12。
设过每个顶点的的棱数为n,每个面的边数为m,则 E?
代入 V+F-E=2 得 12?nv12n=6n, F?, 2m(#) 12n52?6n?2, 即 ??1m3nm
当 n=3 或 n=4 (#)中无整数解;
当n=5时,由 (#)得 m=3 ,, ?E?30 , ?F?20 , 综上得 E=30 , V=12 , F =20 .
[点评] 简单多面体顶点数V?4,面数F?4,且过每个顶点的的棱数n,每个面的边数m都是不小于3的整数;各面多边形的内角总和为S?(E?F)?3600?(V?2)?3600,欧拉利用这个等式关系证明了欧拉公式。
可将上述方法及规律应用到其它问题中,如晶体硼、晶体铜、C60等。
2
下载文档
热门试卷
- 2016年四川省内江市中考化学试卷
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
- 四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
- 2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
- 重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
- 江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
- 内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
- 2017年六年级(上)数学期末考试卷
- 2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
- 江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
- 重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
- 山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
- 【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
- 四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
- 四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
- 安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考高三英语试卷
- 山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
- 福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
- 甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷
网友关注
- 家长课堂
- 关爱留守儿童主题班会
- 香蕉香蕉变变变教案
- 1月份教养笔记
- 受教育和受伤害
- 破茧化蝶 献爱幼教
- 罐子的声音小班科学活动《罐子的声音》
- 11月份教养笔记
- 九岁-10岁课程安排
- 别让宝宝经常啼哭 他会缺乏安全感
- 天赐福成为“皇家绅士”老北京布鞋迎来又一春
- 宝宝常见眼疾
- 肖艳 民间游戏论文
- 足月新生儿的特点及护理方法
- 八个字改变我们一生
- “自由与规则”班会设计
- 北京市少年宫招生简章
- 体检注意事项
- 家长会讲稿
- 更昔洛韦治疗幼儿疱疹性口炎临床观察
- 适合婴儿用的湿纸巾
- 知识
- 一位老教师总结的13条家庭教育精华
- 现场扎染、合作绘画比赛活动
- 如何为儿童选择空气净化器
- 马上就要开学了
- 今天的我们怎么做教育
- 自闭症儿童教育公平浅析
- 家长如何在家中对孩子进行教育
- 做父母得学会说话
网友关注视频
- 【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 苏教版二年级下册数学《认识东、南、西、北》
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的整理与复习》
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit5
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 8
- 冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣
- 冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣.mp4
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《余数和除数的关系》
- 人教版二年级下册数学
- 第五单元 民族艺术的瑰宝_16. 形形色色的民族乐器_第一课时(岭南版六年级上册)_T1406126
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 六年级下册 Unit 7
- 北师大版八年级物理下册 第六章 常见的光学仪器(二)探究凸透镜成像的规律
- 《空中课堂》二年级下册 数学第一单元第1课时
- 沪教版八年级下册数学练习册20.4(2)一次函数的应用2P8
- 第五单元 民族艺术的瑰宝_15. 多姿多彩的民族服饰_第二课时(市一等奖)(岭南版六年级上册)_T129830
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 2
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 3
- 冀教版英语四年级下册第二课
- 冀教版英语三年级下册第二课
- 第12章 圆锥曲线_12.7 抛物线的标准方程_第一课时(特等奖)(沪教版高二下册)_T274713
- 化学九年级下册全册同步 人教版 第22集 酸和碱的中和反应(一)
- 《小学数学二年级下册》第二单元测试题讲解
- 北师大版数学 四年级下册 第三单元 第二节 小数点搬家
- 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数_第一课时(市一等奖)(冀教版九年级下册)_T144342
- 沪教版八年级下册数学练习册21.3(3)分式方程P17
- 七年级下册外研版英语M8U2reading
- 三年级英语单词记忆下册(沪教版)第一二单元复习
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit9
- 外研版英语七年级下册module3 unit2第二课时
- 第19课 我喜欢的鸟_第一课时(二等奖)(人美杨永善版二年级下册)_T644386
精品推荐
- 2016-2017学年高一语文人教版必修一+模块学业水平检测试题(含答案)
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
分类导航
- 互联网
- 电脑基础知识
- 计算机软件及应用
- 计算机硬件及网络
- 计算机应用/办公自动化
- .NET
- 数据结构与算法
- Java
- SEO
- C/C++资料
- linux/Unix相关
- 手机开发
- UML理论/建模
- 并行计算/云计算
- 嵌入式开发
- windows相关
- 软件工程
- 管理信息系统
- 开发文档
- 图形图像
- 网络与通信
- 网络信息安全
- 电子支付
- Labview
- matlab
- 网络资源
- Python
- Delphi/Perl
- 评测
- Flash/Flex
- CSS/Script
- 计算机原理
- PHP资料
- 数据挖掘与模式识别
- Web服务
- 数据库
- Visual Basic
- 电子商务
- 服务器
- 搜索引擎优化
- 存储
- 架构
- 行业软件
- 人工智能
- 计算机辅助设计
- 多媒体
- 软件测试
- 计算机硬件与维护
- 网站策划/UE
- 网页设计/UI
- 网吧管理