2008年全国初中数学竞赛试题
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2008年全国初中数学竞赛试题
《数学周报》杯2008年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5个小题,每小题6分,满分30分)
1. 已知实数x,y满足442424 y 3,y y 3,则的值为( )。 44xxx
(A)7 (B)1 7 (C) (D)5 22
2. 把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,
若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y x2 mx n的图像与x轴有两个不同交点的概率是( )。
(A)41517 (B) (C) (D) 921236
3. 有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以
确定的不同直线最少有( )。
(A)6条 (B)8条 (C)10条 (D)12条
4. 已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=a 1,以AB 为一边在圆O内作正
ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DB=AB=a,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为( )。
(A)3 (D)a a (B)1 (C)22
5. 将1,2,3,4,5这5个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个
数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( )。
(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
1. 对于实数u,v定义一种运算“*”为:u v uv v,若关于x的方程x (a x)
有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是_______________。
2. 小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面
驶来一辆18路公交车。假设每辆18路公交车行使速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔时间是_____________分钟。
3. 如图,在 ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是 的平分线,MF//AD,则FC的长为_______________。
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4. 14C ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过 ABC的内切圆圆心I作DE//BC,分别与AB,
AC相交于点D,E,则DE的长为_______________。
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5. 关于x,y的方程x2 y2 208(x y)的所有正整数解为_______________。
三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)
1. 在直角坐标系xOy中,一次函数y kx b(k 0)的图像与x轴,y轴的正半轴分别
交于A,B两点,且使得 OAB的面积值等于OA OB 3。
(1) 用b表示k;
(2) 求 OAB面积的最小值。
2. 是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程有有理数根?
3. 是否存在一个三边长是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的
ABC?证明你的结论。
4. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,
也可以全部),它们的和能被10整除,求n的最小值。
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