2008年全国初中数学竞赛试题

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2008年全国初中数学竞赛试题

《数学周报》杯2008年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5个小题，每小题6分，满分30分）

1. 已知实数x,y满足442424 y 3,y y 3，则的值为（）。 44xxx

（A）7 （B）1 7 （C）（D）5 22

2. 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，

若两个正面朝上的编号分别为m,n，则二次函数y x2 mx n的图像与x轴有两个不同交点的概率是（）。

（A）41517 （B）（C）（D） 921236

3. 有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以

确定的不同直线最少有（）。

（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条

4. 已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a 1，以AB 为一边在圆O内作正

ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）。

（A）3 （D）a a （B）1 （C）22

5. 将1，2，3，4，5这5个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个

数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）。

（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

1. 对于实数u,v定义一种运算“*”为：u v uv v，若关于x的方程x (a x)

有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_______________。

2. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面

驶来一辆18路公交车。假设每辆18路公交车行使速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔时间是_____________分钟。

3. 如图，在 ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是的平分线，MF//AD，则FC的长为_______________。

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4. 14C ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过 ABC的内切圆圆心I作DE//BC，分别与AB，

AC相交于点D，E，则DE的长为_______________。

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5. 关于x,y的方程x2 y2 208(x y)的所有正整数解为_______________。

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

1. 在直角坐标系xOy中，一次函数y kx b(k 0)的图像与x轴，y轴的正半轴分别

交于A,B两点，且使得 OAB的面积值等于OA OB 3。

（1）用b表示k；

（2）求 OAB面积的最小值。

2. 是否存在质数p,q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？

3. 是否存在一个三边长是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的

ABC？证明你的结论。

4. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个,

也可以全部），它们的和能被10整除，求n的最小值。

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