加试模拟
加试模拟
一、正实数a，b，c满足abc=1，求证：
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解：由
内容需要下载文档才能查看得：
∵abc=1
∴
因此，
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二、△ABC中∠C=90°，CD⊥AB于D.X为线段DC上一点，K∈AX，s.t.KB=CB,L∈BX，s.t.AL=AC.M为AL、KB的交点。
求证：MK=ML
证明：设以A为圆心，AC为半径的圆交直线BX于L，L’
以B为圆心，BC为半径的圆交AX于K，K’
于是，由于⊙A与⊙B根轴为CD.
X∈CD.
故，X到两圆幂相等.
即XK’·XK=XL’·XL
∴K，K’,L，L’共圆，设共圆T
则T与⊙A根轴为LL’，LL’过点B
∴B到T与⊙A切线长相等
由于BC=BK，BC为⊙A切线段
∴BK为T切线
同理AC为T切线
∴MK、ML均为M到⊙T的切线段
∴MK=ML
证毕。
另解：做出△XAB的垂心H，作以HB为直径的圆交AX于K
证明BK=BC
（方法简单，但是不太自然）
三、平面上有n个红点，n个蓝点，无三点共线。
证明或否定：可以连n条线段，每条线段一端红一端蓝，且两两不相交。
解：可以找到。
下给予证明。
取一红一蓝为端点的n条线段共有n!种连法，是有限的。
故其中必存在一种连法使得总的线段和最小。
于是，取所有n条线段连法中总的线段长度是最小的。
此时若有交点，如图：
则改连AD、BC，
线段总长度减小，矛盾！
∴无交点，此即为所求。
证毕。
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四、求一个正整数到正整数的函数，使得
f(n) 2f(f(n)) 3n 5
对所有n∈N都成立。
解：将n=1代入得到
f(1) 2f(f(1)) 8
f(1)只能是偶数，故f(1)=2，4，6
（若不为偶数，则不妨设为2k+1，于是有2f(2k)=7-2k，7-2k≡1（mod 2）与题设矛盾！）
1°若f(1)=6，则f(6)=1，因此，
f(6) 2f(f(6)) 23
∴f(1)=11，矛盾!
2°若f(1)=4，则f(4)=2，因此，
f(4) 2f(f(4)) 17 ∴f(2) 15，矛盾！ 2
3°故，f(1)=2，则f(2)=3，我们不妨假设对于某个n=k时，
f(k) k 1
把n=k代入题设所给条件式，
f(k) 2f(f(k)) 3k 5
∴f(k 1) k 2 (k 1) 1
因此对于所有的正整数n都有f(n) n 1，显然此函数的确满足条件。
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