信息与计算科学专业微分方程数值解课程设计报告
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信息与计算科学专业微分方程数值解课程设计报告
微分方程数值解课程设计
之
利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四 阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题
姓名：
学号：
班级：
学院： 理学院
专业： 信息与计算科学
南京航空航天大学
2014.6.15
一．研究问题
分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题：
?dy?21?????y?14dx???0?x?1,h?0.01。 ??y(0)??1?,????2??
二．理论分析
1、欧拉公式
yn?1?yn?hf(xn,yn)
*为简化分析，人们常在yn?y(xn)的前提下估计误差y(xn?1)?yn?1。这种误差称为局部截
断误差。
对于欧拉格式，yn?1
而按泰勒公式展开有 *?y(xn)?hf(xn,y(xn))
2hy(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?2
因此有 y??(?)
y(xn?1)?y*
n?1h2?y??(?) 2
2所以欧拉公式的截断误差为O(h)。
2、改进的欧拉公式
?n?1?yn?hf(xn,yn)??hy?y?[f(xn,yn)?f(xn?1,n?1)]n?1n?
内容需要下载文档才能查看?2
截断误差： n?0,1,2,
?yn?1?y(xn)?h?f(xn,y(xn))?f(xn?1,y(xn)?hf(xn,y(xn)))? 2
2hh3
y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(?) 26
?3Rn?1?y(xn?1)?yn?1?O(h)
3、四级四阶龙格-库塔公式，
h?y?y?(k1?2k2?2k3?k4)n?n?16??k1?f(xn,yn)
?11??k2?f(xn?h,yn?hk1)22??11k?f(x?h,y?hk2)nn?322??
内容需要下载文档才能查看k4?f(xn?h,yn?hk3)?
截断误差：
?yn?1?y(xn)?n?0,1,2, h****(k1?2k2?2k3?k4) 6
k1??f(xn,y(xn))
11*h,y(xn)?hk1)22 11**k3?f(xn?h,y(xn)?hk2)22
**k4?f(xn?h,y(xn)?hk3)*k2?f(xn?
***将k2展开二元泰勒级数到h项。 ,k3,k44
再234r由hhh(4)h(r)h(r?1)
(r?1)y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?y(xn)???y(xn)?y(?)2624r!(r?1)!
比较同幂次级数可得
?5Rn?1?y(xn?1)?yn?1?O(h)
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