信息与计算科学专业微分方程数值解课程设计报告

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信息与计算科学专业微分方程数值解课程设计报告

微分方程数值解课程设计

之

利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题

姓名：

学号：

班级：

学院：理学院

专业：信息与计算科学

南京航空航天大学

2014.6.15

一．研究问题

分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题：

?dy?21?????y?14dx???0?x?1,h?0.01。 ??y(0)??1?,????2??

二．理论分析

1、欧拉公式

yn?1?yn?hf(xn,yn)

*为简化分析，人们常在yn?y(xn)的前提下估计误差y(xn?1)?yn?1。这种误差称为局部截

断误差。

对于欧拉格式，yn?1

而按泰勒公式展开有 *?y(xn)?hf(xn,y(xn))

2hy(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?2

因此有 y??(?)

y(xn?1)?y*

n?1h2?y??(?) 2

2所以欧拉公式的截断误差为O(h)。

2、改进的欧拉公式

?n?1?yn?hf(xn,yn)??hy?y?[f(xn,yn)?f(xn?1,n?1)]n?1n?

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截断误差： n?0,1,2,

?yn?1?y(xn)?h?f(xn,y(xn))?f(xn?1,y(xn)?hf(xn,y(xn)))? 2

2hh3

y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(?) 26

?3Rn?1?y(xn?1)?yn?1?O(h)

3、四级四阶龙格-库塔公式，

h?y?y?(k1?2k2?2k3?k4)n?n?16??k1?f(xn,yn)

?11??k2?f(xn?h,yn?hk1)22??11k?f(x?h,y?hk2)nn?322??

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k4?f(xn?h,yn?hk3)?

截断误差：

?yn?1?y(xn)?n?0,1,2, h****(k1?2k2?2k3?k4) 6

k1??f(xn,y(xn))

11*h,y(xn)?hk1)22 11**k3?f(xn?h,y(xn)?hk2)22

**k4?f(xn?h,y(xn)?hk3)*k2?f(xn?

***将k2展开二元泰勒级数到h项。 ,k3,k44

再234r由hhh(4)h(r)h(r?1)

(r?1)y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?y(xn)???y(xn)?y(?)2624r!(r?1)!

比较同幂次级数可得

?5Rn?1?y(xn?1)?yn?1?O(h)

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