人人图书馆_直方图均衡化的数学模型研究

直方图均衡化的数学模型研究

第3期2013年3月电 子 学 报ACTAELECTRONICASINICAVol.41 No.3

Mar. 2013

直方图均衡化的数学模型研究

吴成茂

(西安邮电大学电子工程学院,陕西西安710121)

摘 要: 从图像最优对比度出发,提出直方图均衡化的一类最优化数学模型及其增强方法.针对线性规划求解基于最优对比度的图像增强法效率极低的不足,首先对传统直方图均衡化方法建立灰度级映射的最优化数学模型;其次提出了传统直方图均衡化的一种改进型灰度级映射最优化模型;最后探讨了灰度级映射最优化模型解具有的性质,以及传统直方图均衡化和可调直方图均衡化可视为本文方法的特例.实验结果表明,本文所提出直方图均衡化的一类最优化模型是合理的且能获得满意的增强效果,相比传统直方图均衡化和可调直方图均衡化方法更具普适性.

关键词: 图像增强;对比度;直方图均衡化;加权几何平均法

中图分类号: TP391 文献标识码: A 文章编号: 0372-2112(2013)03-0598-05电子学报URL:http://wendang.chazidian.com DOI:10.3969/j.issn.0372-2112.2013.03.030

StudiesonMathematicalModelofHistogramEqualization

WUCheng-mao

(SchoolofElectronicEngineering,Xi.anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi.an,Shaanxi710121,China)

Abstract: Fromtheviewpointofoptimalimagecontrastmeasure,akindofoptimizationmathematicalmodelsanditsen-hancedmethodsareproposedforimageenhancementbyhistogramequalization.Fortheshortcomingoflowoperationefficiencyofoptimalcontrastimageenhancementmethodbylinearprogramming,thegraylevelmappingoptimizationmathematicalmodelforclassicalhistogramequalizationisestablishedtoimproveitsmathematicaltheory.Theimprovedgraylevelmappingoptimizationmodelsforhistogramequalizationareconstructedbymeansofweightedgeometryaveraginginordertoavoidtheshortcomingofclassicalhistogramequalization.Thegoodpropertiesofitsoptimalsolutionforgraylevelmappingoptimizationmodelsaredis-cussed,andtheclassicalandadjustablehistogramequalizationmethodsareregardedasspecialcasesoftheproposedoptimizationmathematicalmodelsforimageenhancement.Experimentalresultsshowthattheoptimizationmodelofhistogramequalizationisrea-sonableandcanobtainsatisfactoryimageenhancementeffect.Tosomeextent,itismoreuniversalthanclassicalandadjustablehis-togramequalizationmethods.

Keywords: imageenhancement;contrastmeasure;histogramequalization;weightedgeometryaveragingmethod

1 引言

直方图均衡化因其简单、快速、有效已在图像增强中得到广泛研究和应用.鉴于直方图均衡只是改变原图像中同一灰度层上所有像素的灰度,导致均衡化图像的动态范围扩大,不可避免地存在不同程度的灰度/吞噬0现象,甚至增强后图像可能出现过暗、过亮、伪轮廓等不足,于是学者们提出了带有约束(如亮度、形状、熵等保持不变)的改进直方图均衡化增强方法[1~5].由于直方图均衡化本身是典型的不适定问题,利用图像本身信息作为先验约束提出了正则化可调直方图均衡化方法[6~7].另外,现有众多直方图均衡化方法缺乏对像素

空间邻域信息的考虑,于是学者们提出了多维直方图均衡化增强法[8~10],对于彩色图像和纹理图像能极大地改善增强效果.总之,利用直方图信息进行对比度增强的方法非常众多,其最终归结于灰度级累计概率分布经线性映射实现灰度级的调整,但它并非完全适合复杂场合图像增强的需要,于是文献[11]提出了一种灰度级非线性变换的最优化对比度模型,为直方图均衡化方法奠定坚实的数学理论基础;同时,它将成为高动态范围图像增强、显示并实现色阶调整映射的有效工具.鉴于文献[11]方法需要求解大规模优化问题,不利于嵌入式实时图像增强处理需要,于是本文提出了传统直方图均衡化最优化对比度模型,对其进行改进并获得了一类新的

收稿日期:2012-05-24;修回日期:2012-07-13

:;

直方图均衡化的数学模型研究

第 3 期吴成茂:直方图均衡化的数学模型研究599

最优化对比度模型,它不仅具有传统直方图均衡化方法相同的时间复杂度,而且可避免传统直方图均衡化本身所存在的灰度级吞噬现象.本文所做工作为智能交通、遥感影像、生物医学等有关图像增强问题的解决提供了崭新的思路,同时在处理高动态图像增强、色阶映射和显示中也能发挥重要作用.

s.t. (1)si\0(0[i<L);

L-1

(2)

E

si=L*;

i=0

(3)0<L*<L.

该模型的最优解为si=L*pi,0[i<L,其相应的灰度

级映射表达式为

ic=|f(i)|=

L

*

j=0

2 直方图均衡化方法

针对大小为m@n的灰度图像G,任意位置(x,y)(1[x[m,1[y[n)所对应像素灰度值大小为g(x,y)(0[g(x,y)[L-1)(这里L是图像灰度级总数),不同灰度级出现概率pi(0[i<L)可表示为

1pi=ED(g(x,y)-i),0[i<LmnxE=1y=1

1,x=0

这里D(x)=.

0,xX0

G,采用直方图均衡化增强的方法可描述为

\0,0[i<L(1)

k=0L-1

这里,函数f(i)(0[i<L)表示增强前图像灰度级i与

Epk-i

m

n

E

i

pj

,0[i<L(4)

若选取参数L*=L-1,则获得传统直方图均衡化所对应的灰度级变换表达式(2).因此,本文所建议的传统直方图均衡化所对应的最优化模型式(3)是合理的.由于最优化模型式(3)仅利用图像灰度的统计信息,缺乏对像素邻域空间信息的考虑,或者人的视觉对图像感知主观偏好的约束,导致该方法仍与传统直方图均衡化存在类似不足,于是文献[12,13]提出了信息熵保持不变的可变灰度级映射方法,但灰度级映射是经验型的,缺乏坚实的数学理论作支撑,很难引起学者们的高度重视.

4 直方图均衡化的改进模型

在文献[11]构造最优对比度准则时融合先验信息的启发下,利用传统综合评价中的几何加权平均法,并考虑人的视觉感知主观偏好特性,提出了一种直方图均衡化的改进最优化模型.

L-1

增强后灰度级ic=f(i)之间的映射关系.一般而言,直方图均衡化中常用的灰度级映射表达式为

ic=f(i)=

(L-1)#

k=0

E

i

pk,0[i<L

(2)

由于灰度级映射式(2)仅为式(1)的一种特殊情形,导致传统直方图均衡化结果并不一定令人满意,甚至可能出现过亮、过暗的增强结果.

s.t.

w)

Fs(ip+K

i

i

(5)

i=0

(1)si>0(0[i<L);

L-1

3 直方图均衡化模型

直方图均衡化已有很长的发展历史,但还没有一定的数学理论可解释灰度级变换式(2)是如何得到的.从图像对比度出发,本文提出直方图均衡化灰度级变换的最优化数学模型.

假设直方图均衡化灰度级变换定义为

fB{0,1,,,L-1}y{0,1,,,L-1}

其中f(i)=

j=0

(2)

E

si=L*;

L-1

i=0

(3)0<L*<L.该模型表达式大则对比度越明显.

Fspi

i=0L-1i=0

i

度量了图像对比度,其值越

i

Fswi

反映了图像本身的先验信

L-1

息,其值越大则利用先验信息越丰富.另外,该最优化对比度模型的目标函数可等价为优解为

的启

si=

L*(p+Kw)1+KEwj

j=0L-1

E

i

sj(0[i<L);

L-1

E

(pi+Kwi)lnsi,于

i=0

si\0(0[i<L)且

E

si<L.

0[j<L

是采用拉格朗日乘子法获得其最优化模型式(5)

的最

i=0

在文献[11]定义图像对比度G(s)=

Epjsj

, 0[i<L(6)

发下,本文利用对数加权平均法构造新的图像对比度并获得灰度级变换式(2)所对应的最优化模型为

L-1

E

piln(si)

(3)

该模型其最优解在L*=L-1条件下所对应的灰度级

映射表达式为

i=0

直方图均衡化的数学模型研究

600

L-1

电 子 学 报2013年

特别地,若ic=f(i)=

E

wj=1时,则有

i

i

<L)的有效性,给出了四幅光照效果较差图像的增强测试,其详细情况如图2所示,其中子图c表示本文所建议式(8)所获得增强结果(图片1、2和4的K=1,图片3的K=5).从图2所示的4幅图像增强结果来看,采用传统直方图均衡化增强结果明显不满意;然而采用本文式(8)进行增强所获结果明显较合理,主观感知满意且与原图像颜色相协调.

j=0

L-1(L-1)K

pj+wj,0[i<LE1+Kj=01+KjE=0

(8)

该式反映了主观偏好与客观信息相融合的灰度级映射法实现直方图均衡化增强的目的.更进一步,若wj=L-1(0[j<L)时,则获得文献[6]可调直方图均衡化增强法所对应的灰度级映射表达式;若K=0时,则获得传统直方图均衡化所对应灰度级映射表达式(2);若Ky+]时,则获得了仅依赖主观偏好信息的直方图均衡化方法ic=f(i)=

(L-1)

j=0

E

i

wj.因此,本文几何

加权最优化模型是传统直方图均衡化,以及文献[6]可调直方图均衡化的一般推广.另外,灰度级映射式相比传统直方图均衡化,以及文献[6]可调直方图均衡化的最大优势在于能够对灰度级概率pi=L-1(0[i<L)的图像实现增强.

5 实验及结果分析

针对彩色图像增强问题,首先将RGB颜色空间的彩色图像转化为HSV颜色空间的彩色图像,仅对其亮度进行增强处理,再将增强结果其转化为RGB颜色空间的彩色图像显示.

511 不同增强方法的时间测试

从理论分析可获得传统直方图均衡化的时间复杂度为O(L),文献[11]增强法的时间复杂度为O(L3),本文所建议的改进最优化对比度模型增强法的时间复杂度为O(L).为了比较这些增强法的时间差异性,本文采用4幅彩色图像(大小分别为1024*683、756*506、800*533、600*400)进行测试(环境:酷睿双核CPU,内存4GB,MATLAB编程),其详细结果如图1和表

-1

1所示(其中灰度级映射式(8)中的K=2,wj=L,0[j<L).从表1所示的三类增强方法时间消耗来看,本文所建议的最优化对比度模型增强法具有极高的运行效率,能满足实时场合图像增强需要.

表1 不同增强法时间开销(单位:s)

图片台灯图片日落图片图书图片广场图片

文献[11]增强法直方图均衡化

2515513262135438618

010958010469010469010313

本文式(8)增强法

214063018905110469013594

另外,为了研究灰度级映射表达式(8)中的参数K

和主观偏好权系数wj对图像增强效果的影响,下面针对图1所示的书房图片选取参数K分别为1、5和10,以及参数wj=L-12k(0[j[L#2-k-1)且wj=0(2-kL[j[L-1),k=0,1,3,5进行分组增强测试,其详细结果3.

512 几何加权最优化模型的增强测试

为了进一步证实本文所建议的最优化模型式(5)

(8)(K=1~5,jL-1,[

直方图均衡化的数学模型研究

第 3 期吴成茂:直方图均衡化的数学模型研究601

之一,但缺乏严格数学理论基础,不利于其深入研究和广泛应用等需要.为此,本文建立了直方图均衡化灰度级映射最优化数学模型,不仅完善了现有直方图均衡化理论,而且对于局部直方图均衡化理论的研究将会有一定的指导作用.

另外,有关算术加权平均最优化模型,以及广义调和加权最优化模型的讨论可参考本文讨论,限于篇幅有限而省略.

致谢 感谢审稿人给本文提出的参考意见.

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从图3所示的系列增强结果来看,参数K和主观偏好权系数w的选取对图像增强效果有很大影响.一般而言,参数K可选取范围为1至5,灰度级偏好权系数所对应的方差应不宜过大,才能使图像增强效果令人满意.另外,若偏好权系数固定且参数K越大,导致本文所建议的最优化模型增强法所对应的增强效果越差.若参数K固定且偏好权系数所对应的信息熵适中,有利于图像增强效果的改善需要.

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针对带有约束的最优化问题(5),其最优解L*=L-1,wj=L-1,0[j<L的条件下,所对应的灰度级映射式(8)参数K的经验选取方法:(1)若参数K=0时,则该方法退化为传统直方图均衡化方法;(2)若参数KX0时,则可考虑选取典型值为1.0、210、310和410;(3)若参数K选取过大且wj=L-1(0[j<L)时,则该灰度级映射近似为自同构不动点映射,失去图像增强意义;(4)文献[14]给出了一种基于灰度直方图概率所对应的信息能量法确定参数K的经验值且能满足大多数图像增强的需要.

另外,针对实际图像而言,若其灰度级概率分布呈均匀分布,采用传统直方图方法是无法达到改善对比度的目的.此时,可采用本文所建议的方法对其进行增强,特别是对某些灰度级图像信息存在一定偏好时,可将其偏好权系数wj选取为非零,其它灰度级的偏好权系数选取为0,以便增强后的图像能满足需要.但是,若无法确定偏好灰度级时,可采用文献[15]中基于混沌的文化粒子群算法生成wj(0[j<L)和K的值,使得图像增强效果评价指标[16]达到最佳值,从而实现彩色图像直方图均衡化自适应增强.

6 结论

直方图均衡化的数学模型研究

602 电 子 学 报2013年

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吴成茂 男,1968年10月出生于四川省仪陇县.现为西安邮电大学电子工程学院高级工程师、硕士生导师.在国内外发表学术论文80余篇.

E-mail:wuchengmao123@http://wendang.chazidian.com