解读微积分中的极限思想

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解读微积分中的极限思想
钱珑
( 湖北经济学院法商学院湖北 武汉430205)
摘要在经济类院校的微积分教学过程中，极限思想在整个教授过程中有着至关重要的作用，它串起了微积分的核
心思想。本文重点介绍了极限思想在教学期间与连续、导数以及积分的联系，从而让学生对微积分有了一个系统的认
知，能够帮助学生更好地学习微积分这门课，为其相关的专业课学习打下一个坚实的基础。
关键词极限连续导数积分
中图分类号：0172．4 文献标识码：A
Interpret at ion of the Li mi t Ideas of Cal cul us
QIANLong
(Col l ege
of Law&Business，Hubei Uni versi t y
of Economi cs，Wuhan，Hubei 430205)
Abstract In the
process
of economic
col lege
cal cul us cl ass teachi ng，the ult i mate t hi nki ng has a cr uci al rol e i n the whole
process ，whi ch pi er ces
the core ideas of cal cul us．Thi s art i cl e focuses on the l i mi t s of
t hought during
the
t eachi ng
and con—
t i nuous，deri vat i ve，and i nt egral l i nks ，SOt hat student s have a cal cul us cogni ti ve system
Can
help
students better l ear n calculus
t hi s
course，i t s rel ated speci al ized l ear ningt o l ay a soli dfoundati on．
Key
words
li mit ；conti nue；deri vative；integration
l 极限的简介
随着我国经济飞速的发展，综合国力的不断提高，许许多
多造型奇特，功能强大，反映时代特色的建筑物如雨后春笋般
拔地而起，在我们惊叹这些建筑的同时，我们不禁想到这些建
筑物的体积和表面积应该当如何计算得知呢?我们将用极限
的思想为我们揭开问题神秘的面纱。极限包含数列极限和函
数极限，他们的区别在于一个是离散变化，而另一个是连续变
化，但不管是离散的，还是连续的，都是研究自变量在某一变
化过程中，因变量随之变化的最后结果，它是数学家在研究无
穷小的问题时而得出的。在极限产生的过程中，有很多不太
好解答的悖论，如：记得以前在上课的时候有位同学就问我为
什么O．333×3等于1 7再比方说庄子的文章“天下篇”中有这
么一句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中就都包含了极
限的思想。再如，三国时期的数学家刘微在《九章算术》的注
文中，创立了一种推导圆周率的方法，即所谓的“割圆术”，他
用正多边形的方法进行割圆，指出当正多边形的边越来越多
的时候，它的面积与圆的面积无限接近，以至于不能再割，即
与圆合体。事实上我们古代的很多诗词也有极限思想的渗入，
像“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”，就体现了～种无限的
境界，徐立也先生则引用“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”
来让学生体会变量无限趋近于0的动态意境。这些正好与我
们现代微积分的理论知识相对应，这说明我们国家很早就有
了极限思想的存在，只不过缺少发现极限的眼睛。极限的厉
害之处在于把本来不断变化的东西用确切的常数去表示，这
样便解决了在各专业研究过程中很多难以解释的问题。而且
微积分中三个最基本的定义：连续、导数、积分都是通过极限
的形式去定义的，可见极限在微积分中的作用非同一般。下
面我们在微积分中其它部分中去探求极限的作用。
2极限与连续的联系
现实世界的许多事物和现象都是运动变化的，而且其变化
过程是连绵不断的，如温度的变化，身高的增长。我们在微积
分中主要的研究对象连续函数，是刻画变量连续变化的最好方
式。从直观上说，当函数伴随着自变量的改变而改变时，如果
自变量的变化不大，那么函数值的改变也应当相对甚微，不会出
现大幅度的波动。从几何图像上看的话，函数所对应的图像应
该是一条连续不断的曲线，没有间断。通过极限可以更加精确
地描述连续函数的定义：(1)当自变量的该变量趋向于0的时
候，函数值的改变量也应该趋向于01imAy=0。(2)当自变量
趋向于某个固定值的时候，函数值也应该趋向于相对应的函数
值l i mf (x)=厂(‰)。(3)s —d定义：V￡>0，| 6>0，当I
X--Xo
<6时，有I厂Q) -f(知) I 函数在点的连续性意味着对应法则和极限满足运算的交
换律。极限是从一点出发去研究在这一点的连续性，两点确
定一条直线的思想告诉我们，利用极限，也可以研究线的特征，
于是，就有了导数。
3极限与导数的联系
我们通过变速直线运动的瞬时速度的求解和曲线在某一
点切线的斜率的研究引出了导数的概念，如果告诉J=S( f)，也
就是时间与路 程之间的关系，那么可=丛 堑 垒 笔 二 ! 业表示的是
LjI
某 时 段 的 平 均 速 度 ， V( t o) =l i m 丛 生 垒 笔 型 表 示 的 是 在 f o时
刻的瞬时速度，在函数值的改变量与自变量的改变量的比值
上取相应的极限就可以把时段变成时刻，这就是极限的魅力，
还有曲线在某一点切线的斜率的举例道出了导数的几何意义。
通过上述两例可以引出导数的定义式：
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