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高等数学习题详解-第4章微分中值定理与导数的应用

上传者：邵德裕
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高等数学习题详解-第4章微分中值定理与导数的应用

- 1 -习题4-1
1．验证下列各题的正确性，并求满足结论的 的值：
(1) 验证函数 ( ) cos 2 f x x  在区间[ , ]
4 4
 
 上满足罗尔定理；
(2) 验证函数 ( ) f x x  在[ 4, 9 ] 上满足拉格朗日中值定理；
(3) 验证函数
2 3
) ( , 1 ) ( x x g x x f    在区间 ] 2 , 1 [ 上满足柯西中值定理.
解： (1) 显然 ( ) c o s 2 f x x  在 [ , ]
4 4
 
 上连续，在 ( , )
4 4
 
 内可导，且
( ) ( ) 0
4 4
f f
 
   ，
又 ( ) 2 sin 2 f x x    ，可见在( , )
4 4
 
 内，存在一点 0   使
 
0
0 ( 2 si n 2 ) 0. f x
 
    
(2) ( ) f x x  在[ 4, 9 ] 上连续，
1
( )
2
f x
x
  ，即知 ( ) f x x  在( 4, 9) 内可导，
由
( 9 ) ( 4 ) 1 1
9 4 5 2
f f
x

 

得
2 5
4
x  ，
即在( 4, 9) 内存在
2 5
4
  使拉格朗日中值公式成立.
(3) 显然函数
2 3
) ( , 1 ) ( x x g x x f    在区间 ] 2 , 1 [ 上连续，在开区间 ) 2 , 1 ( 内可导，且
. 0 2 ) (    x x g 于是 ) ( ), ( x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于
,
3
7
1 2
) 1 1 ( ) 1 2 (
) 1 ( ) 2 (
) 1 ( ) 2 (
2
3 3


  



g g
f f
,
2
3
) (
) (
x
x g
x f




令 ,
3
7
2
3
 x 得 .
9
14
 x 取 ), 2 , 1 (
9
14
   则等式
) (
) (
) 1 ( ) 2 (
) 1 ( ) 2 (
x g
x f
g g
f f






成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.
2．不求导数函数 ( ) ( 1)( 2) f x x x x    的导数, 判断方程 ( ) 0 f x   有几个实根，并指
出这些根的范围.
解因为 ( 2) ( 1) ( 0) 0, f f f      所以 ) ( x f 在闭区间[ 2, 1]   和[ 1, 0 ]  上均满足罗
尔定理的三个条件，从而，在( 2, 1)   内至少存在一点 ,
1
 使 , 0 ) (
1
   f 即
1
 是 ) ( x f  的一个
零点；
又在( 1, 0)  内至少存在一点 ,
2
 使 , 0 ) (
2
   f 即
2
 是 ) ( x f  的一个零点.
又因为 ) ( x f  为二次多项式，最多只能有两个零点，故 ) ( x f  恰好有两个零点，分别在区
间( 2, 1)   和( 1, 0)  .
3．设函数 ) ( x f 是定义在( , )    处处可导的奇函数，试证对任意正数 a，存在
( , ) a a    , 使 ( ) ( ) f a af    .
证因 ( ) f x ( , )   处处可导，则 ( ) f x 在
  a a  ，上应用拉格朗日中值定理：存在
( ) a a    ，，使
( ) ( ) ( ) ( ( )) f a f a f a a         .
由 ) ( x f 是奇函数，则上式为 ( ) ( ) 2 ( ) f a f a af     , 故有

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