高等数学习题详解-第4章 微分中值定理与导数的应用
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高等数学习题详解-第4章 微分中值定理与导数的应用
- 1 -习题4-1
1．验证下列各题的正确性，并求满足结论的 的值：
(1) 验证函数 ( ) cos 2 f x x 在区间[ , ]
4 4
上满足罗尔定理；
(2) 验证函数 ( ) f x x 在[ 4, 9 ] 上满足拉格朗日中值定理；
(3) 验证函数
2 3
) ( , 1 ) ( x x g x x f 在区间 ] 2 , 1 [ 上满足柯西中值定理.
解 ： (1) 显 然 ( ) c o s 2 f x x 在 [ , ]
4 4
上 连 续 ， 在 ( , )
4 4
内 可 导 ， 且
( ) ( ) 0
4 4
f f
，
又 ( ) 2 sin 2 f x x ，可见在( , )
4 4
内，存在一点 0 使
0
0 ( 2 si n 2 ) 0. f x
(2) ( ) f x x 在[ 4, 9 ] 上连续，
1
( )
2
f x
x
，即知 ( ) f x x 在( 4, 9) 内可导，
由
( 9 ) ( 4 ) 1 1
9 4 5 2
f f
x
得
2 5
4
x ，
即在( 4, 9) 内存在
2 5
4
使拉格朗日中值公式成立.
(3) 显然函数
2 3
) ( , 1 ) ( x x g x x f 在区间 ] 2 , 1 [ 上连续，在开区间 ) 2 , 1 ( 内可导，且
. 0 2 ) ( x x g 于是 ) ( ), ( x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于
,
3
7
1 2
) 1 1 ( ) 1 2 (
) 1 ( ) 2 (
) 1 ( ) 2 (
2
3 3
g g
f f
,
2
3
) (
) (
x
x g
x f
令 ,
3
7
2
3
x 得 .
9
14
x 取 ), 2 , 1 (
9
14
则等式
) (
) (
) 1 ( ) 2 (
) 1 ( ) 2 (
x g
x f
g g
f f
成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.
2．不求导数函数 ( ) ( 1)( 2) f x x x x 的导数, 判断方程 ( ) 0 f x 有几个实根，并指
出这些根的范围.
解 因为 ( 2) ( 1) ( 0) 0, f f f 所以 ) ( x f 在闭区间[ 2, 1] 和[ 1, 0 ] 上均满足罗
尔定理的三个条件，从而，在( 2, 1) 内至少存在一点 ,
1
使 , 0 ) (
1
f 即
1
是 ) ( x f 的一个
零点；
又在( 1, 0) 内至少存在一点 ,
2
使 , 0 ) (
2
f 即
2
是 ) ( x f 的一个零点.
又因为 ) ( x f 为二次多项式，最多只能有两个零点，故 ) ( x f 恰好有两个零点，分别在区
间( 2, 1) 和( 1, 0) .
3．设函数 ) ( x f 是定义在( , ) 处处可导的奇函数，试证
对任意正数 a，存在
( , ) a a , 使 ( ) ( ) f a af .
证 因 ( ) f x ( , ) 处处可导，则 ( ) f x 在
a a ， 上应用拉格朗日中值定理：存在
( ) a a ， ，使
( ) ( ) ( ) ( ( )) f a f a f a a .
由 ) ( x f 是奇函数，则上式为 ( ) ( ) 2 ( ) f a f a af , 故有
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