2015年第二十届华杯赛决赛初一组试题
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2015年第二十届华杯赛决赛初一组试题
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第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题(初一组)
(时间: 2015年4月11日10:00~11:30)
一、选择题 (每小题10分, 共80分)
1. 计算: 2048 12 24 38 101024 .
2. 一堆彩球只有红、黄两色. 先数出的50个球中有49个红球, 此后, 每数出8
个球中都有7个红球, 恰好数完. 已数出的球中红球不少于90%. 这堆彩球最多有 个.
3. 正整数a,b,c,d 满足
d .
4. 圆形跑道上等距插着2015面旗子, 甲与乙同时同向从某面旗子的位置出发,
当甲与乙再次同时回到出发点时, 甲跑了23圈, 乙跑了13圈. 不算起始点旗子位置, 则中间有 次甲正好在旗子位置追上乙.
5. 现有2015张卡片, 每张上写有数字 1或 1. 如果每次指着其中的三张卡片
问:“这三张卡片所写的数字的乘积是多少?”并得到正确回答. 那么, 至少问 次才能确定这2015张卡片所写的数字的乘积.
abc的最大值是 , 最小a b c2ac3 , 当a b c d最小时, c3bd4 1111 6. 设a, b, c为1到9中的三个不同整数, 则
值是 .(abc是个三位数)
7. 如右图, 正六边形中两个等边三角形的面积都为30平方厘米,
那么正六边形的面积是 平方厘米.
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8. 从一副扑克牌中抽走一些牌, 在剩下的牌中至少要数出20张, 才能确保数出
的牌中有两张同花色的牌的点数和为15. 那么最多抽走 张牌, 最少抽走 张牌. (J、Q、K的点数分别为11, 12, 13, 大、小王的点数为0;一副扑克牌有54张牌, 其中52张是正牌, 另2张是副牌(大王和小王). 52张正牌又均分为13张一组, 并以黑桃、红桃、草花、方块四种花色表示各组, 每组花色的牌包括从1至10(1通常表示为A)以及J、Q、K标示的13张牌).
二、解答下列各题(每小题10分, 共40分, 要求写出简要过程)
9. 算式1 3 5 2013 2 4 6 2014的值被2015除的余数为多少?
10. (1)右图共含有几个四边形? (2) 在右图的每个顶点处标上
1或 1, 共有4个1和4个 1, 将每个四边形4个顶点处的数
相乘, 再将所得的所有的积相加, 问:至多有多少个不同的和?
1113abc32 ,bc 2c2b 4(b 2c) 0,b与c同号, 11. 已知bca4bcacab2
且b 2c. 求a4 b4 c4.
12. 加工十个同样的木制玩具, 需用260毫米和370毫米长的标准木方分别为30
根和40根. 仓库里有长度分别为900毫米、745毫米、1385毫米的三种标准木方, 用这三种标准木方锯出所需长度的木方, 每锯一次要损耗5毫米长木方. 问是否可以用三种木方, 每种木方选一些, 恰好锯出十个玩具所需的木方?如果可以, 要求锯的次数最少, 那么三种木方各选多少根?(说明:一根木方被锯一次要得到两个长度大于0的木方, 即不能从一端锯. )
三、解答下列各题(每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程)
13. 如图, △ABC中, D是BC上一点且CD:DB 2:3, E是
AB上一点且AE:EB 2:1, F是CA的延长线上一点且
CA:AF 4:3. 若△DFE的面积为1209, 求△ABC的面积.
14. 求使得n2 2n为完全平方数的自然数n.
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