小学六年级奥数系列讲座：方程与方程组(含答案解析)

方程与方程组1

内容概述

二元、三元一次方程组的代入与加减消元法．各种可通过列方程与方程组解的应用题，求解时要恰当地选取未知数，以便于将已知条件转化为方程．

典型问题

1．一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数 约简后是1．那么原来的分数是多少? 5

a，则分子、分母都减去19为122?a【分析与解】方法一：设这个分数为

a?19a?191==,即5a-95=103-a,解得a?33,则122-33=89．所以(122?a)?19103?a5

原来的分数是33 89

方法二：设这个分数为变化后为aa?19，那么原来这个分数为，并且有5a5a?19

33(a?19)?(5a?19)=122, ，解得。=14．所以原来的分数是． 89

2．有两堆棋子，A堆有黑子350和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占50％，B堆中黑子占75％，那么要从B堆中拿到A堆黑子多少个?白子多少个?

【分析与解】 要使A堆中黑、白子一样多，从B堆中拿到A堆的黑子应比白子多150个，设从B堆中拿白子

依题意有x个，则拿黑子(x+150)个． 400?(x?15).=75％, 解得x=25. 所以要拿黑子25+150=175个．白400?100?(2x?150)

子25个

．

3．A种酒精中纯酒精的含量为40％，B种酒精中纯酒精的含量为36％，C种酒精中纯酒精的含量为35％．它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38．5％,的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升．那么其中的A种酒精有多少升?

【分析与解】 设c种酒精x升，则B种酒精戈x+3升，A种酒精ll-x-(x+3) 升.有：

[11-x-(x+3)] +4％+( x +3)×36％+ x×35％=11×38．5％解得x =0.5．

其中A种酒精为11-2x-3=7(升)．

4.校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有位同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的11加上现在到关校门时间的，就是现在的时间．那么现在的时间是34

下午几点?

【分析与解】 设现在为下午x点．那么上午6：00距下午x点为6+x小时；下午x点距下午6：40为62?x小时． 3

有：?(6?x)?

131?2??6?x??x，解得x=4． 所以现在的时间为下午4点． 4?3?

5．如图18—2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a．图18-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a的2倍．求这个自然数．

【分析与解】 由题意知???8a?7??8?1???8?1??17?2a??17?4,整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．

于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．

6．一堆彩色球，有红、黄两种颜色．首先数出的50个球中有49个红球；以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已经数出的球中红球不少于90％，那么这堆球的数目最多只能有多少个?

【分析与解】方法一 ：首先数出的50个球中，红球占49÷50×100％=98％．以后每次数出的球中，红球占7÷8×100％=87．5％． 取得次数越多，红球在所取的所有球中的百分数将越低．设取得x次后，红球恰占90％．共取球50+8z，红球为49+7x．

(49+7x)÷(50+8x)×100％=90％，解得x=20，所以最多可取20次，此时这堆球的数目最多只能有50+8×20=210个．

方法二：设,除了开始数出的50个球，以后数了n次，那么,共有红球49+7n，共有球50+8n,有49?7n≥90％，即49+7n≥45+7．2n,解得n≤20，所以n的最大值20. 50?8n

则这堆球的数目最多只能有50+8×20：210个．

7.有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l和

17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少

?

【分析与解】 设这些人中的年龄从大到小依次为x、y、z、w，

①+②+③十④得：2(x+y+z+w)=90，

x?y?z?w=15????????????????⑤ 3

2①-⑤得：x?14 ,x=21； 3

2④-⑤得：z?2，z=3； 3则

所以最大年龄与最小年龄的差为x?w=21—3=18(岁)．

方程与方程组2

内容概述

一般的，把含有未知数的等式称为方程

将含有未知数的个数称为“元”，如：x+y=2就是一个二元方程，而两个含有2个未知1

x?y?2

数的方程合在一起，就组成了二元方程组，3x?4y?6.5就是一个二元一次方程组． 把未知数的最高次数称为“次”，如x?y?25就是一个二元二次方程．

如果方程组的个数等于未知数的个数，我们就称这个方程为适定方程；

如果方程组的个数少于未知数的个数，我们就称这个方程为不定方程；一般的不定方程没有确定解．

1?22《九章算术》第八卷“方程”刘徽注:程,课程也.群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之.并列为行,故谓方程.