小学六年级奥数系列讲座：图形变换(含答案解析)

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小学六年级奥数系列讲座：图形变换(含答案解析)

图形变换

内容概述

本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换,下面我们就汶些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．

1.三角形ABC与A?B?C?,如果它们的对应边成比例,即ABBCCA???K,我们A?B?B?C?C?A?

就称它们相似，记作△ABC～△A?B?C?.

这个比值K叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序),如果相似系数为1，就称这两个三角形全等,记作△ABC≌△A?B?C?.

如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．

(以上3条判定定理中,如果含有边的比例的关系,而其中的比例系数为l,则这两个三角形全等．)

2.两条直线平行,则：

反之,如果知道上面某种情况的成立,则那两条直线平行．

3.两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．

典型问题

2.四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90,求四边形ABCD的面积．

【分析与解】如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△A?BD.连接A?C．

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00,0因为∠ABD+∠BDC=900而∠ABD=∠A?DB=90所以有∠A?DB+∠BDC=90．

那么A?CD为直角三角形,由勾股定理知A?C2?AB2?CD2=2500,所以A?C?50.

而在△A?BC中,有A?B=AD=48,有48+14=2500,即A?B+BC=A?C,即△A?BC为直角三角形． 22222

有SA?CD?SA?BC?30?40?

A?CD11?14?48??936. 22而|S四边形ABCD?S?SA?BC

0?936. 评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=90突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形.

这样面积就很好解决了．

Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作L的对称图形.如下：

4.如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．

【分析与解】因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如下图．在

00下图中有∠BCA=110,所以∠ACD=70

000 于是∠ACC?=∠ACD+∠DCC?=∠ACD+∠ABC=70+40=110；

0 即∠ACC?=110=∠CC?D；又因为C?A?只是CA移动的变化,所以C?A?=CA；则

ABC?A?是一等腰梯形．

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于是,∠ADC?=180-110=70；

0000 又∠CDC?=30,所以∠ADC=70-30=40.

06.如下图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是等腰三角形BD=CD，顶角∠BDC=120,∠

0MDN=60,求△AMN的周长．

【分析与解】如下图,延长AC至P,使CP=MB,连接DP.

000

则有∠MBD=60+S0ADE11?S正六边形DEQSRT?S63DQR1800?1200?∠PCD；CP=BM；2

BD=CD,所以有△MBD≌△PCD.

00于是∠MDC=∠PDC；又因为∠MDB+∠NDC=60,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=60；MD=PD

在△MDN、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△PND.有MN=PN．因为NP=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.

即△AMN的周长为2.

8.下图为半径20厘米、圆心角为144的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线分为8等份的点.求阴影部分面积之和．

【分析与解】如下图,做出辅助线

△KMA与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,S

KMA0?SANG,而△LMA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．

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